Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam  Chương III - Hệ Tọa Độ Trong Không Gian  1  Lớp Toán Thầy - Diệp Tuân  Tel: 0935.660.880  3   PHƯƠNG PHÁP T  A Đ    TRONG KHÔNG GIAN  A . LÝ THUYẾT  I.   Hệ trục tọa độ trong không gian Oxyz  1. Định nghĩa:   Hệ gồm ba trục ,   , Ox Oy Oz     vuông góc được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong  không gian.   O   gọi là gốc của hệ tọa độ,  T rục Ox   là trục hoành, Oy  là trục tung và Oz   là trục cao.  2. Véctơ đơn vị   trên các trục ,   , Ox Oy Oz   lần lượt là ,   ,   , i   j k  T a có: .   .   .   0. i j   j k   k i        1 i   j   k         3. Tọa độ của véc tơ:  Với véctơ u   trong hệ tọa độ Oxyz   luôn tồn tại duy nhất bộ ( ;   ; ) x y z   thỏa: .   .   . . u   x i   y j   z k         Khi đó: Véc tơ u   có tọa độ   là ( ;   ; ) x y z  4. Tọa độ của điểm:  Xét điểm M   thỏa mãn .   .   . OM   x i   y j   z k          thì điểm ( ;   ; ). M x y z  Ngược lại, điểm ( ;   ; ) M x y z   thì .   .   . OM   x i   y j   z k          .  5.   Tính chất      quy tắc      phép toán trên véc tơ.  Cho 1   1   1   2   2   2 (   ;   ;   ),   (   ;   ;   ) a   x   y   z   b   x   y   z       và số thực k   . Khi đó  Tổng và hiệu của hai vec tơ: 1   2   1   2   1   2 (   ;   ;   ) a   b   x   x   y   y   z   z               Tích của véc tơ với một số thực k   là 1   1   1 (   ;   ;   ) ka   kx   ky   kz   Sự cùng phương của hai vec tơ 1   2 1   1   1 1   2 2   2   2 1   2  / /  x   x x   y   z a   b   a   kb   k   a   b   y   y x   y   z   z   z                                         .     Chú ý :   Nếu     2   2   2 0   0,   0 x   y   z          thì     1   1   1 0   0,   0 x   y   z            một vec tơ 2   2   2 1   1   1 |   | a   x   y   z         Tích vô hướng của hai vec tơ 1   2   1   2   1   2 . a b   x x   y y   z z            Nhận xét: 1   2   1   2   1   2   0 a   b   x x   y y   z z               Góc của hai véctơ . cos( ,   )   |   ||   |  a b a b   a   b    6. Tính chất      Phép toán của điểm.  Cho (   ;   ;   ),   (   ;   ;   ),   (   ;   ;   ),   (   ;   ;   ) A   A   A   B   B   B   C   C   C   D   D   D A x   y   z   B x   y   z   C x   y   z   D x   y   z   . Khi đó:  Véc tơ của hai điểm (   ;   ;   ) B   A   B   A   B   A AB   x   x   y   y   z   z            Khoảng cách hay độ dài của hai điểm 2   2   2  (   )   (   )   (   ) B   A   B   A   B   A AB   AB   x   x   y   y   z   z                    z  y  x  k  j  i   O   À   I 1.   H    T  A       TRONG KHÔNG GIAN OXYZTrung Tâm Luyện Thi Đại Học Amste rdam  Chương III - Hệ Tọa Độ Trong Không Gian  2  Lớp Toán Thầy - Diệp Tuân  Tel: 0935.660.880  Trung điểm I   của đoạn AB   : ;   ; 2   2   2  A   B   A   B   A   B x   x   y   y   z   z I                       Trọng tâm G   của ABC    : ;   ; 3   3   3  A   B   C   A   B   C   A   B   C x   x   x   y   y   y   z   z   z G                                Trọng tâm G   của tứ diện ABCD   : ;   ; 4   4   4  A   B   C   D   A   B   C   D   A   B   C   D x   x   x   x   y   y   y   y   z   z   z   z G                                         7. Ví dụ minh họa .     Ví d    1.   Trong không gian v  i Oxyz   cho ba véc tơ 2   3   5 ,   3   4 ,   2 a   i   j   k   b   j   k   c   i   j                  a).   Xác đ  nh t  a đ    các véc tơ , , a b c   , 3   2 x   a   b       và tính x  b).   Tìm giá tr    c  a x       véc tơ     2   1;   ;3   2 y   x   x   x             vuông góc v  i véc tơ 2 b   c   c).   Ch  ng minh r  ng các véc tơ , , a b c   không đ  ng ph  ng và phân tích véc tơ     3;7;   14 u        qua ba véc tơ , , a b c   .  L  i gi  i.  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ...............  II. TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ VÀ ỨNG DỤNG.  1.      Cho     1   1   1 ;   ; a   x   y   z       và     2   2   2 ;   ; b   x   y   z      Tích có hướng của hai véc tơ     1   1   1 ;   ; a   x   y   z       và     2   2   2 ;   ; b   x   y   z       là một véc tơ, kí hiệu , a b           , được  xác định như sau     1   1   1   1   1   1 1   2   2   1   1   2   2   1   1   2   2   1 2   2   2   2   2   2  ,   ;   ;   ;   ;  y   z   z   x   x   y a b   y z   y z   z x   z x   x y   x y y   z   z   x   x   y                                     2.   Các tính chất:

Bài tập phương pháp tọa độ trong không gian – Diệp Tuân

TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2021 Facebook Nguyễn Vương    https://www.facebook.com/phong.baovuong   Trang 1  MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT Câu 1.   (Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - 2021)   Trong không gian   Oxyz   , điểm nào dưới đây thuộc    1   2   5 :   2   3   4  x   y   z d                ?  A.       1; 2;5 M   .   B.       1;   2;5 N      .   C.       1; 2;   5 Q         .   D.       2;3; 4 P   .  Câu 2.   (Chuyên   Lam   Sơn   -   Thanh   Hóa   -   2021)   Trong   không   gian   Ox yz   cho   mặt   cầu        2   2   2 : (   1)   (   2)   (   3)   4 S   x   y   z                   . Tâm của       S   có tọa độ là  A.       1;2;3    B.       1;   2;   3       C.       1;   2;   3          D.       1; 2;3  Câu 3.   (Chuyên   Lam   Sơn   -   Thanh   Hóa   -   2021)   Trong   không   gian   Oxyz   ,   cho   mặt   phẳng        : 2   3   0 P   x   y   z             . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của       P   ?  A.       3   1;   1;3 n        .   B.       4   2;   1;3 n        .   C.       2   2;1;   1 n        .   D.       1   2;1;3 n     .  Câu 4.   (Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - 2021)   Trong không gian   Oxyz   , tọa độ   của véc tơ 2   3 a   i   j   k                   là:  A.       1; 2;   3 .       B.       3; 2;   1 .       C.       2;   1;   3 .       D.       2;   3;   1 .      Câu 5.   (Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - 2021)   Trong không gian   Oxyz   , cho       3; 2;1 a     ,       2;0;1 b        . Vectơ   u   a   b               có độ dài bằng  A.   2.   B.   2   .   C.   1.   D.   3.  Câu 6.   (Chuyên KHTN - 2021)   Trong không gian   Oxyz   , vectơ nào dưới đây là một vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng         :2   3   0 P   x   y   z             ?  A.       2   2;1;   1 n           .   B.       3   2;   1;1 n           .   C.       4   2; 0;   3 n           .   D.       1   2;1;1 n        .  Câu 7.   (Chuyên KHTN - 2021)   Trong không gian   Oxyz   , cho hai điểm       1;   1;2 A      và       1;3;0 B      . Trung    AB   có tọa độ là  A.       0;2;2   .   B.       2;4;   2       .   C.       1;2;   1       .   D.       0;1;1   .  Câu 8.   (Chuyên KHTN - 2021)   Trong không gian với hệ tọa độ   Oxyz   ; cho điểm       1;3;   2 A      và        : 2   2   3   0 P   x   y   z             . Khoảng cách từ điểm   A          P   bằng:  A.   1   .   B.   2   .   C.   2 3   .   D.   3   .  Câu 9.   (Chuyên   Hoàng   Văn   Thụ   -   Hòa   Bình   -   2021)   Trong   không   gian   Oxyz   ,   mặt   phẳng (   ) : 3   2   0 P   x   z          có một vectơ pháp tuyến là  A.   (3; 0;   1) n           .   B.   ( 1; 0;   1) n           .   C.   (3;   1; 0) n           .   D.   (3;   1; 2) n           .  Câu 10.   (Chuyên   Hoàng   Văn   Thụ   -   Hòa   Bình   -   2021)   Trong   không   gian   Oxyz   ,      thẳng 1   3   7 (   ) :   2   4   1  x   y   z d                 nhận vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương?  A.   (2; 4;1)   .   B.   ( 2; 4;   1)       .   C.   (1;   4; 2)    .   D.   ( 2;   4;1)       .  Câu 11.   (Chuyên   Hoàng   Văn   Thụ   -   Hòa   Bình   -   2021)   Trong   không   gian   Oxyz   ,   mặt   cầu 2   2   2 (   ) : (   5)   (   1)   (   2)   9 S   x   y   z                   có bán kính   R   là  PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Chủ đề 7NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương      https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ A.   18 R      .   B.   6 R      .   C.   9 R      .   D.   3 R      .  Câu 12.   (Chuyên Hoàng Văn Thụ - Hòa Bình - 2021)   Trong không gian   Oxyz   , cho hai điểm       0;1;   1 A      ,      2;3; 2 B   . Vectơ   AB      có tọa độ là  A.       3;5;1   .   B.       1; 2;3   .   C.       3; 4;1   .   D.       2; 2;3   .  Câu 13.   (Chuyên Quốc Học Huế - 2021)   Trong không gian   , Oxyz   cho             1; 2;3 ,   0;   1;1 u   v               . Tìm tọa    u     và   v     .  A.       5;1;   1    .   B.       5;   1;   1       .   C.       1;   1;   1          .   D.       1;   1;5       .  Câu 14.   (Chuyên Quốc Học Huế - 2021)   Trong không gian   Oxyz   , cho       2;3; 2 a        và       1;1;   1 b           . Vectơ  a   b         có tọa độ là  A.       3; 4;1   .   B.       1;   2;3       .   C.       3;5;1   .   D.       1; 2;3   .  Câu 15.   (Chuyên Quốc Học Huế - 2021)   Trong không gian   Oxyz   , cho mặt phẳng         : 2   3   1   0 x   z              . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của          ?  A.       2;3;   1 n           .   B.       2;3;0 n        .   C.       2;0;   3 n              .   D.       2;0;   3 n           .  Câu 16.   (Chuyên Quốc Học Huế - 2021)   Trong không gian   Oxyz   , cho ba điểm             2;0;0 ,   0;3;0 A   B    và      0;0; 4 C   . Mặt phẳng       ABC   có phương trình là  A.   1 2   3   4  x   y   z             .   B.   1 2   3   4  x   y   z             .   C.   1 2   3   4  x   y   z             .   D.   1 2   3   4  x   y   z           .  Câu 17.   (Chuyên Quang Trung - Bình Phước - 2021)   Trong không gian   Oxyz   , gọi   A   là điểm thuộc mặt cầu tâm   I   bán kính   R   . Chọn phương án đúng.  A.   IA   R    .   B.   IA   R    .   C.   IA   R    .   D.   2  IA   R    .  Câu 18.   (Chuyên Quang Trung - Bình Phước - 2021)   Trong không gian   Oxyz   , điểm   (1, 2,3) A   thuộc mặt phẳng có phương trình nào dưới đây?  A.   2   0 x   y   z          .   B.   2   3   0 x   y   z          .   C.   2   3   0 x   y   z          .   D.   2   3   1 x   y   z          .  Câu 19.   (Chuyên Quang Trung - Bình Phước - 2021)   Trong không gian   Oxyz   , đường thẳng   Ox   có phương trình nào dưới đây  A.   0 0  x   t  y z               .   B.  1 0 0  x y z               .   C.  1 x y   t z   t               .   D.   1 1  x   t y  z               .  Câu 20.   (Chuyên Quang Trung - Bình Phước - 2021)   Trong không gian   Oxyz   , tọa độ hình chiếu của    (1; 2;3) M   lên mặt phẳng       Oxz   là  A.   (1;0;3)   .   B.   (1;   2;3)    .   C.   (0; 2;0)   .   D.   ( 1; 2;   3)       .  Câu 21.   (Chuyên Ngoại Ngữ Hà Nội- 2021)   Trong không gian   Oxyz   , phương trình mặt phẳng đi qua ba        2;0;0 A   ,       0;3;0 B   ,       0;0;   1 C      là  A.   1 2   3   1  x   y   z           .   B.   1 2   3   1  x   y   z             .   C.   0 2   3   1  x   y   z             .   D.   1 2   3   1  x   y   z             .  Câu 22.   (Chuyên Ngoại Ngữ Hà Nội- 2021)   Trong không gian, cho đường thẳng d:   2   1   3 1   2   1  x   y   z                   . Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của d  A.       1;2;1 d u        .   B.       1;   2;   1 d u              .   C.       1; 2;   1 d u           .   D.       2;1;3 d u        .

Tổng ôn tập TN THPT 2021 môn Toán: Phương pháp tọa độ trong không gian

Câu   1:   (THPT   Lê   Hồng   Phong-Nam      1-năm   2017-2018)   Trong không gian với hệ toạ độ   Oxyz   , cho tứ diện   ABCD   với       0; 0; 3 A   ,       0; 0;   1 B      ,       1; 0;   1 C      ,       0; 1;   1 D      . Mệnh đề nào dưới   A.   AB   BD    .   B.   AB   BC    .   C.   AB   AC    .   D.   AB   CD    .  Lời   giải  Chọn   C  Ta có       0; 0;   4 AB            ,       1; 0;   4 AC              .   16   0 AB AC            AB    và   AC   không vuông góc.  Câu   2:   (TT   Diệu   Hiền-Cần   Thơ-tháng   10-năm   2017-2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ   , Oxyz cho   2   3 a   i   j   k                  . Tọa độ của vectơ   a     là:  A.       2;   1;   3 .       B.       3; 2;   1 .       C.       2;   3;   1 .       D.       1; 2;   3 .      Lời   giải  Chọn   D  Ta có:   2   3 a   i   j   k                      1; 2;   3 a            .  Câu   3:   (TT   Diệu   Hiền-Cần   Thơ-tháng   10-năm   2017-2018)   Trong không gian với hệ tọa độ   Oxyz   , cho bốn điểm       1;0; 2 A   ,       2;1;3 B      ,       3; 2; 4 C   ,       6;9;   5 D      . Hãy tìm tọa độ trọng tâm của tứ diện  ABCD   ?  A.       2;3;   1    .   B.       2;   3;1    .   C.       2;3;1   .   D.       2;3;1    .  Lời   giải  Chọn   C  Gọi       ;   ; G   x y z   là tọa độ trọng tâm của tứ diện   ABCD   ta có: 4 4 4  A   B   C   D  A   B   C   D  A   B   C   D x   x   x   x x y   y   y   y y z   z   z   z z                                              1   2   3   6 4 0   1   2   9 4 2   3   4   5 4  x y z                                               2 3 1  x y z                Câu   4:   (THPT   Chuyên   Lê   Hồng   Phong-Nam      2   năm   2017-2018)   Trong không gian với hệ tọa độ   Oxyz   , cho hai điểm       2;   3;5 M      ,       6;   4;   1 N         và đặt   L   MN        . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?  A.       4;   1;   6 L            .   B.   53 L      .   C.   3 11 L      .   D.       4;1;6 L         .  Lời   giải  A  B  C  DChọn   B  Ta có       4;   1;   6   53 MN   MN                       .  Câu   5:   (THPT   Chuyên   Lê   Hồng   Phong-Nam      2   năm   2017-2018)   Trong không gian với hệ tọa độ   Oxyz   , cho đường thẳng   d   vuông góc với mặt phẳng         : 4   3   0 P   x   z          . Vec-tơ nào dưới đây là một vec-tơ chỉ phương của đường thẳng   d   ?  A.       4;1;   1 u           .   B.       4;   1; 3 u           .   C.       4; 0;   1 u           .   D.       4; 1; 3 u        .  Lời   giải  Chọn   C  Do       d   P    nên vec-tơ chỉ phương của đường thẳng   d   là vec-tơ pháp tuyến của       P   . Suy ra một một vec-tơ chỉ phương của đường thẳng   d   là             4; 0;   1 P u   n               .  Câu   6:   (Đề   tham   khảo   BGD   năm   2017-2018)   Trong không gian   Oxyz   , cho đường thẳng 2   1 :   1   2   1  x   y   z  d                . Đường thẳng   d   có một vec tơ chỉ phương là  A.       1   1;2;1 u           .   B.       2   2;1;0 u         .   C.       3   2;1;1 u         .   D.       4   1; 2;0 u            .  Lời   giải  Chọn   A Câu   7:   (Đề   tham   khảo   BGD   năm   2017-2018)   Trong mặt phẳng tọa độ   Oxyz   , cho ba điểm       2;0; 0 M   ,      0;   1; 0 N      và       0;0; 2 P   . Mặt phẳng       MNP   có phương trình là  A.   0 2   1   2  x   y   z             .   B.   1 2   1   2  x   y   z             .   C.   1 2   1   2  x   y   z           .   D.   1 2   1   2  x   y   z             .  Lời   giải Chọn   D         MNP   là 1 2   1   2  x   y   z             .

Trắc nghiệm phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz trong các đề thi thử Toán 2018

TOANMATH.com   Trang 1  CHUYÊN ĐỀ 7: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Oxyz  BÀI 1: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN  Mục tiêu     Kiến thức  +   Nắm vững định nghĩa hệ trục tọa độ   Oxyz   trong không gian, các khái niệm về tọa độ điểm, tọa    +   Nắm vững biểu thức tọa độ các phép toán vectơ và các tính chất.  +   Nắm vững biểu thức tọa độ của tích vô hướng, tích có hướng của hai vectơ và các ứng dụng.  +   Nắm vững được phương trình mặt cầu, điều kiện để một phương trình là phương trình mặt cầu.     Kĩ năng  +   Biết tìm tọa độ của một điểm, một vectơ. Tính được tổng, hiệu các vectơ, tích của vectơ với  một số.  +   Tính được tích vô hướng của hai vectơ và các ứng dụng: tính độ dài vectơ, tính khoảng cách  giữa hai điểm, tính góc giữa hai vectơ;...  +   Xác định được tích có hướng của hai vectơ và vận dụng làm được một số bài toán  +   Viết phương trình mặt cầu biết tâm và bán kínhTOANMATH.com   Trang 2  I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM  1. Hệ tọa độ trong không gian  Hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc trong không gian gồm ba trục  x'Ox, y'Oy, z'Oz vuông góc với nhau từng đôi một.  Gọi   ,   , i j k     lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz.    Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) là các mặt phẳng tọa độ.  Không gian gắn với hệ tọa độ Oxyz được gọi là không gian Oxyz.  2. Tọa độ của vectơ  Trong không gian Oxyz, cho vectơ   u     . Khi đó      u   x; y; z   u   xi   y j   zk.                             Chú ý:  1)       0   0;0; 0 .     2)  1   1  2   2  3   3  a   b  a   b   a   b  a   b                           3)   a     cùng phương         1   1  2   2  3   3  a   kb  a   k b b   0   b  a   kb                               Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ  Cho hai vectơ             1   2   3   1   2   3 ;   ;   ,   ;   ; a   a   a   a   b   b b   b            và k là số thực tùy ý.  Khi đó ta có:         1   1   2   2   3   3 ;   ;   . a   b   a   b   a   b   a   b                           1   1   2   2   3   3 ;   ;   . a   b   a   b   a   b   a   b                           1   2   3 .   ;   ; k a   ka   ka   ka            1   1   2   2   3   3 . .   .   .   . a b   a b   a b   a b                1   1   2   2   3   3 a .b   a a   b   a.b   0   .b   a .b   0                              2   2   2   2  1   2   3 a   a.a   a   a   a .                    2   2   2   2  1   2   3 a   a   a   a   a .               

Bài giảng hệ tọa độ trong không gian

GV:   Nguyen   Xuan   Chung   1  PH  N   2  CÁC   BÀI   TOÁN   T  P   H  P    I  M.   GTLN      GTNN.  Trong   ph  n   2   này   chúng   ta   nghiên   c  u   các   bài   toán   có   n  i   dung   v    qu    tích   và  giá   tr    l  n   nh  t,   giá   tr    nh    nh  t.   Thông   th  ng:   Các   bài   toán   t  p   h  p    i  m   c  ng   chính  là   các   bài   toán   v    min      max   b  i   vì   khi   t  p   h  p    i  m   th  a   mãn    i  u   ki  n   nh  t    nh   thì  s  t   min      max.   Tuy   nhiên:   Bài   toán   t  p   h  p    i  m   thiên   v    v    trí   t  ng    i   và   tính  toán,   còn   bài   toán   v    min      max   thiên   v    kh  o   sát   hàm   s    và   b  t    ng   th  c.   T    chúng   ta   c  ng   th  y    c   ph  ng   pháp   gi  i   có    c   tr  ng   riêng     Bài   toán   t  p   h  p    i  m:   Th  ng   s    d  ng   ph  ng   pháp   véc   t  ,   các    nh   lý   trong  tam   giác,   hình   bình   hành,   s  i   x  ng,   song   song,   vuông   góc,   ...     Bài   toán   min      max:   Th  ng   s    d  ng   ph  ng   pháp   kh    d  n    n   (Thêm   bi  n,   i   bi  n,   d  n   bi  n),   kh  o   sát   c  c   tr  ,   b  t    ng   th  c   B.C.S   ,   Mincopxki,   ...  Nh    v  y   trong   ph  n   này   các   bài   toán   có   m  c      V  n   d  ng      V  n   d  ng   cao.     gi  i   nhanh   thì   chúng   ta   không   ch    n  m   v  ng   ki  n   th  c   mà   còn   s    d  ng   m  t   s    công  th  c   tính   nhanh,   k    n  ng   s    d  ng   CASIO.   N  u   ch    làm   t    lu  n   thì   c  ng   có   k  t   qu   nh  ng   thi   tr  c   nghi  m   thì   th  i   gian   không   nhi  u!.   Các   em   c  n   tính   t  ng   th  i   gian   c  a  quy   trình   gi  i   m  t   bài   toán   khó   nh    sau:      c   hi  u      và   yêu   c  u   c  a   bài   toán :    c      hi  u   n  i   dung   c  a   bài   toán   là   gì?     Tái   hi  n   ki  n   th  c :   Trong   bài   toán   chúng   ta   c  n   thi  t   nh  ng   ki  n   th  c   nào?     Xác    nh   các   y  u   t    c  n   gi  i :   Ch  ng   h  n   m  t   c  u   thì   c  n   bi  t   tâm,   bán   kính,...     Bi  n    i,   tính   toán :       là   quy   trình   cu  i   cùng   d  n    n   k  t   qu    và   tr    l  i,   có  nhi  u   khi   ph  i   v    hình   minh   h  a   thì   càng   m  t   nhi  u   th  i   gian.  Trong   ph  n   này,   các   bài   toán   có   ch  n   l  c   và    c   biên   so  n   theo   ch  :    i  m     m  t   ph  ng,    i  m      M  t   c  u,    i  m       ng   th  ng,   và   t    h  p   c  a   các   y  u   t    trên.   Trong  ph  n   1,   tôi        a   ra   m  t   s    ki  n   th  c   b    xung   và   công   th  c   tính   nhanh,   nên   ph  n   này  tôi   không   nêu   ra.   Tuy   nhiên,   trong   ph  n   này   c  ng   có   ki  n   th  c   b    xung   h  u        giúp   chúng   ta   gi  i   nhanh,   t     m  i   ti  t   ki  m    c   th  i   gian   toàn   bài   thi.    c   bi  t  trong   ph  n   này   ta   nghiên   c  u   bài   toán   mà   t  m   g  i   là     nh   lu  t   ph  n   x       sáng    i  v  i   g  ng   ph  ng GV:   Nguyen   Xuan   Chung   2  I.   B    XUNG      BÀI   TOÁN   V    TÂM   T    C  .  1.   Ki  n   th  c   b    xung.     V  i   hai    i  m   , A   B   và   ,        là   các   s    sao   cho   0            .    i  m   I   th  a   mãn  0                     IA   IB   g  i   là   tâm   t    c    c  a   hai    i  m   , A   B   .   Khi       t  a      I   tính   theo   công   th  c:  A   B I x   x x                  ,   A   B I y   y y                  ,   A   B I z   z z                  .  Ch  ng   minh :   (Hoàn   toàn   t  ng   t    v  i   b    n    i  m)            0   0                                                       IA   IB   OA   OI   OB   OI                                      OI   OA   OB   hay   ta   có                                     OI   OA   OB   .   Chuy  n   v    t  a      ta   có    pcm.     Chú    :      i  m   I   thu  c    ng   th  ng   AB .   N  u    t           k   thì   1              k   và   ta   có      1                   OI   kOA   k OB   .      c   bi  t   khi   1           thì   I   là   trung    i  m   c  a   AB .   M    r  ng    i   v  i   ba    i  m   A,  B,   C   và   b    0                 ta   có   0 IA   IB   IC                               thì   I   là   tâm   t    c    c  a   ba    i  m       H  n  n  a   v  i   tam   giác   ABC   thì   ta   hay   s    d  ng   0 GA   GB   GC                       ,   v  i   1                 .  2.   Các   ví   d    gi  i   toán.  Ví   d    1.   Trong   không   gian   Oxyz,   cho   hai    i  m             4;   3; 2 ,   2; 5;   1 A   B       .   Tìm   t  a    i  m   K   th  a  mãn    ng   th  c   2   0 KA   KB                 .  H  ng   d  n   gi  i  2   2   2 2   0   ,   , 1   2   1   2   1   2  A   B   A   B   A   B K   K   K x   x   y   y   z   z KA   KB   x   y   z                                                0; 13;   4 K       .  L  u        tránh   sai   sót   v    d  u,   dùng   Casio   ghi   2 1   2  A   B     CALC   nh  p   4   2       (l  n   1   hoành     t  ng    ng   c  a   , A   B   )   CALC   l  n   2   nh  p   tung    ,   CALC   l  n   3   nh  p   cao    .  Ví   d    2.   Trong   không   gian   t  a      Oxyz,   cho   hai    i  m             3;   3;5 ,   7; 1;3 E   F    .   Tìm   t  a    i  m  K   thu  c   tr  c   Oy   sao   cho   3   2 KE   KF           t   giá   tr    nh    nh  t.  H  ng   d  n   gi  i  G  i   I   là    i  m   th  a   mãn       3   2   0   5;   11;9 IE   IF   I                         .  Khi                 3   2   3   2 K E   KF   KI   IE   KI   IF   KI   KI                                             t   giá   tr    nh    nh  t      K   là  hình   chi  u   c  a   I   trên   tr  c   Oy,   v  y    i  m   K   c  n   tìm   là       0;   11;0 K      .  Ví   d    3.   Trong   không   gian   t  a      Oxyz,   cho   ba    i  m                   2; 0;   1 ,   5;   7;   1 ,   1;   5;   7 A   B   C                   và  M   là   m  t    i  m   thay    i   trên   m  t   ph  ng   Oxy.   Tìm   giá   tr    nh    nh  t   c  a   bi  u   th  c  P   MA   MB   MC                   .

Các bài toán chọn lọc trong hệ tọa độ Oxyz (phần 2) – Nguyễn Xuân Chung

Tr  n S    Tùng   PP to       trong không gian  Trang   1  T  KG 01: VI  T PH  NG TRÌNH M  T PH  NG  D  ng 1: Vi  t ph  ng trình m  t ph  ng b  ng cách xác    nh vect    pháp tuy  n  Câu 1.   Trong không gian v  i h    t  a      O xyz , cho hai    i  m A(2;4;1), B(–1;1;3) và m  t ph  ng (P):   x   y   z    2      0 +   =   . Vi  t ph  ng trình m  t ph  ng (Q)    i qua hai    i  m A, B và vuông góc v  i m  t ph  ng (P).    (Q)    i qua A, B và vuông góc v  i (P)  fi   (Q) có VTPT   P n   n   AB ,   (0;   8;   12)   0     ̆ =   =   -   -        ̊  uuu r r  r   r  fi   Q   y   z (   ) : 2   3   11   0 +   -   =   .  Câu h  i t  ng t  : a) V  i A(1; 0; 1), B(2; 1; 2),   2   3   3   0 P   x   y   z (   ) :   +   +   +   =   .    S:   Q   x   y   z (   ) :   2   2   0 -   +   -   =  Câu 2.   Trong không gian v  i h    t  a      O xyz , vi  t ph  ng trình m  t ph  ng (P)    i qua hai    i  m  A   B (2;1;3),   (1;   2;1) -   và song song v  i    ng th  ng  x   t  d   y   t  z   t  1 :   2  3   2     = -   +     =     = -   -   .     Ta có   BA   (1;3;2) =  uur   , d có VTCP   u   (1;2;   2) =   -  r   . G  i   n  r   là VTPT c  a (P)  fi   n   BA  n   u     ^    ^   uur  r  r   r   fi   ch  n   n   BA u ,   ( 10; 4;   1)     ̆ =   = -   -     ̊  uur  r   r  fi   Ph  ng trình c  a (P):   x   y   z 10   4   19   0 -   +   -   =   .  Câu 3.   Trong không gian v  i h    to       O xyz , cho 2    ng th  ng   d 1 (   )   và   d 2 (   )   có ph  ng trình:  x   y   z d 1  1   1   2  (   );   2   3   1  -   +   -  =   =   ,   x   y   z d 2  4   1   3  (   ) :   6   9   3  -   -   -  =   =   . L  p ph  ng trình m  t ph  ng (P) ch  a (d 1   ) và   d 2 (   )   .    Ch  ng t    (d 1 ) // (d 2 ). (P): x + y – 5z +10 = 0  Câu 4.   Trong   không   gian   v  i   h    to       O xyz ,   cho   m  t   c  u   (S)   có   ph  ng   trình:  x   y   z   x   y   z 2   2   2   2   6   4   2   0 +   +   -   +   -   -   =   . Vi  t ph  ng trình m  t ph  ng (P) song song v  i giá c  a véc t    v   (1;6;2) =  r   , vuông góc v  i m  t ph  ng   x   y   z (   ) :   4   11   0  a   +   +   -   =   và ti  p xúc v  i (S).    (S) có tâm I(1; –3; 2) và bán kính R = 4. VTPT c  a   (   )  a   là   n   (1; 4;1) =  r   . fi   VTPT c  a (P) là:   [   ] P n   n v ,   (2;   1;2) =   =   -  r   r r   fi   PT c  a (P) có d  ng:   x   y   z   m 2   2   0 -   +   +   =   . Vì (P) ti  p xúc v  i (S) nên   d I   P ( ,(   ))   4 =   m m  21  3     = -     =    . V  y: (P):   x   y   z 2   2   3   0 -   +   +   =   ho  c (P):   x   y   z 2   2   21   0 -   +   -   =   .  Câu 5.   Trong không gian v  i h    t  a      O xyz , cho    i  m M(1; –1; 1) và hai    ng th  ng  x   y   z  d 1  1  (   ) :   1   2   3  + =   =  -   -   và   x   y   z  d 2  1   4  (   ) :   1   2   5  -   -  =   =   . Ch  ng minh r  ng    i  m   M   d   d 1   2 ,   ,   cùng n  m trên m  t m  t ph  ng. Vi  t ph  ng trình m  t ph  ng        d 1   qua   M 1 (0;   1;0) -   và có   u 1   (1;   2;   3) =   -   -  r   ,   d 2   qua   M 2   (0;1; 4)   và có   u 2   (1;2;5) =  r   .  u   u 1   2 ;   ( 4;   8; 4)   0     ̆   = -   -        ̊  r  r   r   ,   M M 1   2   (0;2; 4) =  uuuuuu r   fi   u   u   M M 1   2   1   2 ;   .   0     ̆   =     ̊  uuuuuu r  r   r   fi   d   d 1   2 ,    ng ph  ng. G  i (P) là m  t ph  ng ch  a   d   d 1   2 ,  fi   (P) có VTPT   n   (1;2;   1) =   -  r   và    i qua M 1   nên có ph  ng trình   x   y   z 2   2   0 +   -   +   =   . Ki  m tra th  y    i  m   M   P (1; –1;1)   (   )    .PP to       trong không gian   Tr  n S    Tùng  Trang   2  D  ng 2: Vi  t ph  ng trình m  t ph  ng liên quan    n m  t c  u  Câu 6.   Trong không gian v  i h    to       Oxyz , cho    ng th  ng d: x   y   z 3   3  2   2   1  -   -  =   =   và m  t c  u (S):   x   y   z   x   y   z 2   2   2   2   2   4   2   0 +   +   -   -   -   +   =   . L  p ph  ng trình m  t ph  ng (P) song song v  i   d   và tr  c   Ox ,    ng th  i ti  p xúc v  i m  t c  u (S).    (S) có tâm I(1; 1; 2), bán kính R = 2. d có VTCP u   (2;2;1) =  r   . (P) // d, Ox  fi   (P) có VTPT   [   ] n   u i ,   (0;1;   2) =   =   -  r  r   r   fi   PT c  a (P) có d  ng: y   z   D 2   0 -   +   =   . (P) ti  p xúc v  i (S)     d I   P   R ( ,(   ))   =     D  2   2  1   4   2  1   2  -   +   =  +     D   3   2   5 -   =     D D  3   2   5  3   2   5     =   +    =   -  fi   (P):   y   z 2   3   2   5   0 -   +   +   =   ho  c   (P):   y   z 2   3   2   5   0 -   +   -   =   .  Câu 7.   Trong không gian v  i h    t  a      Oxyz , cho m  t c  u (S):   x   y   z   x   y 2   2   2   2   4   4   0 +   +   +   -   -   =   và m  t ph  ng ( P ): x   z   3   0 +   -   =   . Vi  t ph  ng trình m  t ph  ng ( Q )    i qua    i  m   M (3;1;   1) -  vuông góc v  i m  t ph  ng ( P ) và ti  p xúc v  i m  t c  u   (S).    (S) có tâm I(–1; 2; 0) và bán kính R = 3; (P) có VTPT   P n   (1; 0;1) =  r   . PT (Q)    i qua M có d  ng:   A x   B y   C z   A   B   C 2   2   2  (   3)   (   1)   (   1)   0,   0 -   +   -   +   +   =   +   +     (Q) ti  p xúc v  i (S)     d I   Q   R   A   B   C   A   B   C 2   2   2  ( ,(   ))   4   3 =      +   +   =   +   +   (*)  Q   P Q   P   n   n   A   C   C   A (   )   (   )   .   0   0 ^      =      +   =      = -  r   r   (**) T    (*), (**)  fi   B   A   A   B   B   A   AB 2   2   2   2  5   3   2   8   7   10   0 -   =   +      -   +   =     A   B   A   B 2   7   4 =      = -    V  i A   B 2 =   . Ch  n B = 1, A = 2, C = –2  fi   PT (Q):   x   y   z 2   2   9   0 +   -   -   =    V  i   A   B 7   4 = -   . Ch  n B = –7, A = 4, C = –4  fi   PT (Q):   x   y   z 4   7   4   9   0 -   -   -   =  Câu h  i t  ng t  : a) V  i   S   x   y   z   x   y   z 2   2   2  ( ) :   2   4   4   5   0 +   +   -   +   -   +   =   ,   P   x   y   z   M (   ) : 2   6   5   0,   (1;1;2) +   -   +   =   .   S:   Q   x   y   z (   ) : 2   2   6   0 +   +   -   =   ho  c   Q   x   y   z (   ) :11   10   2   5   0 -   +   -   =   .  Câu 8.   Trong không gian v  i h    tr  c O xyz , cho m  t c  u (S):   x   y   z   x   y   z 2   2   2      4   2      0 +   +   +   +   =   . Vi  t ph  ng trình m  t ph  ng (P) ch  a tr  c O x   và c  t m  t c  u (S) theo m  t    ng tròn có bán kính   r   3 =   .    (S) có tâm I(1; –2; –1), bán kính R = 3. (P) ch  a Ox  fi   (P): ay + bz = 0. M  t khác    ng tròn thi  t di  n có bán kính b  ng 3 cho nên (P)    i qua tâm I. Suy ra: –2a – b = 0      b = –2a   (a      0)  fi   (P): y – 2z = 0.  Câu 9.   Trong không gian v  i h    tr  c O xyz , cho m  t c  u (S):   x   y   z   x   y   z 2   2   2   2   2   2      0 +   +   +   -   +   =  và    ng th  ng   x   y d   x   z  2   0  :   2   6   0     -   -   =     -   -   =    . Vi  t ph  ng trình m  t ph  ng (P) ch  a   d   và c  t m  t c  u (S) theo m  t    ng tròn có bán kính r   1 =   .    (S) có tâm I ( 1;1;   1) -   -   , bán kính R = 2. PT m  t ph  ng (P) có d  ng:   ax   by   cz   d   a   b   c 2   2   2  0 (   0) +   +   +   =   +   +      . Ch  n M   N   d (2;0;   2),   (3;1;0) -      .

Bài tập tọa độ không gian phân theo dạng có lời giải chi tiết – Trần Sĩ Tùng

MuÂc luÂc  Phần 1.   Một số bài toán cực trị trong hình học giải tích không gian   1  Chủ đề 1. Tìm điểm thỏa điều kiện cực trị   1  d   Bài toán 1: Cho điểm   A   cố định và điểm   M   di động trên hình   ( H   )   (  thẳng, mặt phẳng   ). Tìm tọa độ   M      AM   nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   1  d   Bài toán 2: Cho mặt phẳng   ( P )   và hai điểm   A ,   B   phân biệt. Tìm điểm  M      ( P )      MA   +   MB   nhỏ nhất,   | MA      MB |   lớn nhất   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   2  d   Bài toán 3: Cho mặt phẳng   ( P )   và mặt cầu   ( S )   cố định ( ( P )   và   ( S )   không có điểm chung). Xét điểm   M   di động trên   ( P )   và   N   di động trên   ( S ) . Xác định vị trí   M   và   N      MN   nhỏ nhất (lớn nhất)   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   5  d   Bài toán 4: Cho hai đường thẳng   d 1   và   d 2   chéo nhau. Tìm   M      d 1 ,   N      d 2  sao cho độ dài   MN   nhỏ nhất (đoạn vuông góc chung)   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   7  d   Bài toán 5: Tìm điểm   M   thoả mãn điều kiện cực trị liên quan đến các yếu tố định lượng (diện tích, thể tích, khoảng cách, ...)   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   9  d   Bài toán 6: Tìm tọa độ điểm   M   thuộc hình   ( H   )   ( mặt phẳng, đường thẳng   ) sao cho độ dài của véc tơ tổng (hiệu) nhỏ nhất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   11  d   Bài toán 7:Tìm tọa độ điểm   M   thuộc hình   ( H   )   ( mặt phẳng, đường thẳng   )    T   =   m . MA 2   +   n . MB 2   +   k . MC 2   nhỏ nhất (lớn nhất) . . . . . . . . . . . . . . .   13  Chủ đề 2. Lập phương trình mặt phẳng   16  d   Bài toán 1: Viết phương trình mặt phẳng chứa   M   và cách   A   một khoảng lớn nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   16  d   Bài toán 2: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng   d   (hoặc hai    B ,   C ) và cách điểm   A   một khoảng lớn nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   19  d   Bài toán 3: Viết phương trình mặt phẳng chứa   A   và song song với      và cách      một khoảng lớn nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   22  d   Bài toán 4: Viết phương trình mặt phẳng chứa   d   và tạo với mặt phẳng   ( Q )  một góc nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   24  d   Bài toán 5: Viết phương trình mặt phẳng chứa   d   và tạo với   d    một góc lớn nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   26  d   Bài toán 6: Viết phương trình mặt phẳng đi qua   A   và cắt mặt cầu theo một đường tròn giao tuyến có bán kính nhỏ nhất   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   28  d   Bài toán 7: Viết phương trình mặt phẳng chứa   d   và cắt mặt cầu theo một  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   29  Chủ đề 3. Lập phương trình đường thẳng   33d   Bài toán 1: Viết phương trình đường thẳng   d   nằm trong mặt phẳng   ( P )   và    M   sao cho khoảng cách từ   A      d   lớn nhất   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   33  d   Bài toán 2: Viết phương trình đường thẳng   d   nằm trong mặt phẳng   ( P )   và    M   sao cho khoảng cách từ   A      d   nhỏ nhất   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   34  d   Bài toán 3: Viết phương trình đường thẳng   d   nằm trong mặt phẳng   ( P ) , đi qua   M   và tạo với   d    một góc lớn nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   36  d   Bài toán 4: Viết phương trình đường thẳng   d   nằm trong mặt phẳng   ( P ) , đi qua   M   và tạo với   d    một góc nhỏ nhất   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   37  d   Bài toán 5: Cho mặt phẳng   ( P )   và mặt cầu   ( S )   cắt nhau theo một đường tròn giao tuyến   ( C   )   và điểm   A   nằm trong hình tròn   ( C   ) . Viết phương trình    d      A   và cắt   ( C   )   tại hai điểm   M ,   N   thỏa mãn độ dài  MN   ngắn nhất.   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   40  Phần 2.      42  A A      . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   42  B B   Lời giải chi tiết bài tập tương tự của từng Chủ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   42  ii MỤC LỤC

Một số bài toán cực trị trong hình học giải tích không gian

Trang 1/51  R I   B A  CHỦ ĐỀ 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU  A.   KIẾN THỨC CƠ BẢN  1/ Định nghĩa:  2/ Các dạng phương trình mặt cầu :  Dạng 1 :   Phương trình chính tắc  Mặt cầu ( S ) có tâm   (   ) ; ; I   a b c   , bán kính   0 > R   .  (   )   (   )   (   )   (   ) 2   2   2   2 : S   x   a   y   b   z   c   R    +      +      =  Dạng 2 :   Phương trình tổng quát  2   2   2  (   ) :   2   2   2   0 +   +            +   = S   x   y   z   ax   by   cz   d   (2)      mặt cầu:   2   2   2   0 a   b   c   d +   +      >     ( S ) có tâm   (   ) ; ; I   a b c   .     ( S ) có bán kính:   2   2   2  =   +   +    R   a   b   c   d   .  3/ Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng :  Cho mặt cầu   (   ) ; S   I R   và mặt phẳng   (   ) P . Gọi   H   là hình chiếu vuông góc của   I   lên   (   ) P      = d   IH   là  khoảng cách từ   I      (   ) P . Khi đó :  + Nếu   > d   R   : Mặt cầu và mặt  phẳng không có điểm chung.  + Nếu   = d   R   : Mặt phẳng tiếp xúc  mặt cầu. Lúc đó:   (   ) P   là mặt phẳng  tiếp diện   của mặt cầu và   H   là   tiếp   + Nếu   : d   R <   Mặt phẳng   (   ) P  cắt mặt cầu theo thiết diện là     có tâm   I'   và bán kính   2   2  =    r   R   IH  P  M 2  M 1  H  I R  R  I  H P  d  r   I'    R  I  Lưu ý:   Khi mặt phẳng ( P ) đi qua tâm   I   thì mặt phẳng ( P ) được gọi là   mặt phẳng kính   và thiết diện lúc đó      4/ Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng :  Cho mặt cầu   (   ) ; S   I R   và đường thẳng      . Gọi   H   là hình chiếu của   I   lên      . Khi đó :  +   > IH   R   :      không cắt mặt  cầu.  +   = IH   R   :      tiếp xúc với mặt cầu.     là   tiếp tuyến   của ( S ) và   H   là   tiếp   +   < IH   R   :      cắt mặt cầu tại  hai điểm phân biệt.  R  I    H   H    I  R  H   B  A  I  R    Cho điểm   I   cố định và một số thực dương   R . Tập hợp tất cả  những điểm   M   trong không gian cách   I   một khoảng   R      gọi là mặt cầu tâm   I,   bán kính   R.  Kí hiệu:   (   ) ; S   I R   (   )   {   } ;   /    =   = S   I R   M   IM   RTrang   2/51  *   Lưu ý:   Trong trường hợp      cắt ( S ) tại 2 điểm   A, B   thì bán kính   R   của ( S ) được tính như sau:  + Xác địn h:   (   ) ;   . d   I   IH    =  + Lúc đó:  2 2   2   2 2      =   +   =   +          AB  R   IH   AH   IH    * Đường tròn ( C ) trong không gian   Oxyz , được xem là giao tuyến của ( S ) và mặt phẳng (   )     .  (   )   2   2   2 :   2   2   2   0 S   x   y   z   ax   by   cz   d +   +            +   =  (   )   :   0 Ax   By   Cz   D     +   +   +   = *   Xác định tâm   I’   và bán kính   R    của ( C ).  + Tâm   (   ) ' I   d   =      .  Trong đó   d   là đường thẳng đi qua   I và vuông góc với mp   (   )    + Bán kính   (   )   (   ) (   )   2 2 2   2 '   '   ; R   R   II   R   d   I       =      =        5/ Điều kiện tiếp xúc :   Cho mặt cầu ( S ) tâm   I , bán kính   R .  + Đường thẳng      là   tiếp tuyến   của ( S )      (   ) ;   . d   I   R    =  + Mặt phẳng   (   )    là   tiếp diện   của ( S )      (   ) (   ) ;   . d   I   R     =  * Lưu ý:   Tìm   tiếp điểm   (   ) 0   0   0   0 ;   ; M   x   y   z   .  Sử dụng tính chất :   (   )  0   0 0   0                                  d IM   d   IM   a IM   IM   n

Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm phương trình mặt cầu

Trang 1/69  50 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VD - VDC SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN  DẠNG TOÁN 1: HÌNH CHÓP CÓ CẠNH BÊN HOẶC MỘT MẶT VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY. Câu 1:   Cho hình chóp   . S ABCD   có đáy   ABCD   là hình vuông cạnh   a   và   SA   vuông góc với mặt phẳng    (   ) SBC   với mặt phẳng đáy bằng   45    . Gọi   , M   N   lần lượt là trung điểm của   AB   và   SB   . Tính theo   a   khoảng cách giữa hai đường thẳng   MD   và   CN   .  A.   3  4   a   .   B.   21  3  a   .   C.   2 a   .   D.   2   21  21  a   .  Câu 2:   Cho hình chóp   . S ABC   có đáy   ABC   là tam giác vuông tại   A   ,      o 60 ABC      ,   2 BC   a    . Gọi   D   là    3   2 SB   SD          . Hình chiếu của   S   trên mặt phẳng       ABC   là điểm   H   thuộc đoạn  BC   sao cho   4 BC   BH    . Tính góc giữa hai đường   thẳng   AD   và   SC   biết   SA   tạo với mặt đáy một góc   o 60   .  A.   o  60   .   B.   o  45   .   C.   o  90   .   D.   o  30   .  Câu 3:   Cho hình chóp   . S ABCD   có đáy   ABCD   là hình vuông cạnh   5 a   , cạnh bên   10 SA   a    và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi   M   là trung điểm cạnh   SD   . Tính   tan   của góc tạo bởi hai mặt phẳng       AMC   và       SBC   .  A.   3  2   .   B.   2 3  3   .   C.   5  5   .   D.   2 5  5   .  Câu 4:   Cho hình chóp   . S ABCD   có đáy   ABCD   là hình vuông, tam giác   SAB      S lên mặt phẳng       ABCD   trùng với trung điểm   I   của   AB   . Gọi   , H K   lần lượt là trung điểm của  DC   và   SB   , biết   7 2  a SH      .Tính khoảng cách giữa   HK   và   SC   .  A.   3  8   .   B.   15  2   .   C.   15  8   D.   5  10   .  Câu 5:   Cho hình chóp   . S ABCD   có đáy   ABCD   là hình chữ nhật, cạnh bên   SA   vuông góc với    ,   2 ,   3 AB   a AD   a SA   a          . Gọi   , M N   lần lượt là hình chiếu của   A   lên   , SB SD   và  P   là giao điểm của   SC   với mặt phẳng       AMN   . Tính thể tích khối chóp   . S AMPN   .  A.  3  1869  140  a   .   B.  3  5589  1820  a   .   C.  3  181  120  a   .   D.  3  1863  1820  a   .  Câu 6:   Cho hình chóp   . S ABCD   có đáy   ABCD   là hình vuông cạnh bằng   2   ,   SA   vuông góc với mặt phẳng đáy       ABCD   và   2  SA   . Gọi   M   ,   N   lần lượt là hai điểm thay đổi trên hai cạnh   AB   ,  AD   sao cho mặt phẳng       SMC   vuông góc với mặt phẳng       SNC   . Thể tích khối chóp . S AMCN     A.   4   3   4  3     .   B.   8 3   8  3     .   C.   2 3   2    .   D.   4   3   4  3     .Trang 2/69  Câu 7:   Cho hình chóp   . S ABCD   có đáy là hình thang vuông tại   A   và   B   ,   AB   BC   a       ,   2 AD   a    ; cạnh bên   SA   vuông góc với mặt phẳng đáy và   SA   a    . Gọi   M   ,   N   lần lượt là trung điểm của  SB   ,   CD   . Tính cosin của góc giữa   MN   và       SAC   .  A.   2  5   .   B.   55  10   .   C.   3   5  10   .   D.   1  5   .  Câu 8:   Cho hình chóp   . S ABC   có   ABC    vuông tại   B   ,   1,   3 AB   BC       ,   SAC          SAC   vuông với đáy. Gọi     là góc giữa hai mặt phẳng       SAB   và       SBC   . Giá trị của   cos   bằng  A.   2   65  65   B.   65  20   C.   65  10   D.   65  65  Câu 9:   Cho hình lập phương   . ABCD A B C D             có các cạnh bằng   2   , gọi điểm   M   là tâm của mặt bên  ABB A    , các điểm   ,   ,   , N P Q K   lần lượt là trung điểm của các cạnh   ,   ,   , AC DD   D C   B C                . Tính cosine góc giữa hai mặt phẳng       MNP   và       AQK   .  A.   2  2   .   B.   1  2   .   C.   102  34   .   D.   3  4   .  Câu 10:   Cho hình chóp   . S A B C D   có đáy   ABCD   là hình vuông cạnh bằng   a   .   S A   vuông góc với mặt phẳng đáy.   H   và   K   là hai điểm lần lượt nằm trên hai cạnh   BC   và   CD   sao cho   3 4  a  BH      , (0   ) KD   x   x   a          . Tìm giá trị của   x          SAH   và       SAK   tạo với nhau một góc bằng   45    .  A.   7  a  x      .   B.   5  a  x      .   C.   2  7  a  x      .   D.   2  5  a  x      .  Câu 11:   Trong không gian, cho tam giác   OAB   cân ở   O   có      4  5; tan   3  OA   OB   AOB          . Điểm   C   di    Oz   vuông góc       OAB   , gọi   H   là trực tâm của tam giác   ABC   . Khi   C   di động trên tia   Oz   thì   H   luôn thuộc một đường tròn cố định. Bán kính của đường tròn đó bằng:  A.   5  4   .   B.   3  2   .   C.   5  2   .   D.   3   .  Câu 12:   Cho hình chóp   . S ABCD   có đáy   ABCD   là hình thoi tâm   O   cạnh   a   , góc      120 BCD        .      SA   ABCD    . Thể tích khối chóp   . S ABCD   là 3   3 3  a   . Gọi   M   là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác   SOD   . Hãy tính khoảng cách   h   từ   M   tới mặt phẳng       SBC   theo   a   .  A.   57  19  a h      .   B.   57  38  a h      .   C.   2   5  5  a  h      .   D.   2   5  19  a  h      .  Câu 13:   Cho tam giác   ABC   vuông tại   A   và đường thẳng      vuông góc với mặt phẳng       ABC   tại điểm  A   .   Các      , M   N   thay      trên      thẳng      sao   cho             MBC   NBC    .   Biết , AB   b   AC   c       . Giá trị nhỏ nhất của thể tích tứ diện   MNBC   theo   b   và   c   bằng  A.  2   2 2   2 3 b c  b   c    .   B.  2   2 2   2  b c  b   c    .   C.   2   2  3  bc b   c    .   D.  2   2 2   2 3  b c b   c    .

50 bài tập trắc nghiệm sử dụng phương pháp tọa độ giải bài toán hình học không gian

1   GV:   Nguyen   Xuan   Chung  PH  N   1  KI  N   TH  C   C    B  N   VÀ   B    XUNG.   CÔNG   TH  C   TÍNH   NHANH.  Trong   ph  n   này   chúng   ta   nghiên   c  u   các   bài   toán    i  n   hình   trong   h    t  a      Oxyz  ch    thiên   v    tính   toán:   Ngh  a   là   t    các   s    li  u   và   d    ki  n       cho,   chúng   ta    i   thi  t   l  p   các  ph  ng   trình   hay   các   h    th  c   có   liên   quan   và   gi  i   ra       s    c  n   tìm.  Ph  n   này   là   các   bài   toán   s  u   t  m    c   ch  n   l  c   và   có   tính   t  ng   h  p,   ngh  a   là   t   h  p   c  a   nhi  u   bài   toán   nh  ,   bao   g  m   nhi  u   ki  n   th  c   có   liên   quan.   Nói   cách   khác:      là   các   bài   toán         t  p   và   luy  n   thi.  Chúng   ta   có   th    phân   d  ng,   lo  i   toán   theo   nhi  u   cách   hay   theo   các   hình   th  c   nào      m  t   bài   toán   có   th  c   n  m   trong   nhi  u   d  ng   toán   khác   nhau,   do       không   th   nh   d  ng   chung   cho   t  t   c    các   bài   toán.   Trong   ph  n   này   tôi   c    g  ng   biên   so  n   các   bài  toán   theo   các   ch  ,   hay   theo   ph  ng   pháp   gi  i   ho  c   theo   d  ng   toán    c   tr  ng   c  a   nó.       ng      t  p   và   luy  n   thi,    c   bi  t   là   thi   tr  c   nghi  m,   thì   ngoài   các   ki  n   th  c  c    b  n   và   cách   gi  i   t    lu  n,   yêu   c  u   các   em   c  n   b    xung   thêm   các   ki  n   th  c,   m  t   s    k  t  qu    hay   m  t   s    công   th  c   tính   nhanh,   k  t   h  p   v  i   máy   tính   CASIO.  I.   CÁC   BÀI   TOÁN   C    B  N   V    VÉC   T    VÀ   T  A    .  1.   Tóm   t  t   ki  n   th  c   c    b  n .     Trong   h    Oxyz,    i  m       ; ;   .   .   . M   a b c   OM   a i   b j   c k                         .     Hình   chi  u   vuông   góc   c  a   M   trên   tr  c   Ox   là       ;0;0 A a   ,...     Hình   chi  u   vuông   góc   c  a   M   trên   mp(Oxy)   là       ; ;0 H   a b   ,...     Cho       ;   ; u   x y z      và       '   ';   ';   ' u   x   y   z        Tích   vô   h  ng:       . '   .   ' .cos   ,   ' u u   u   u   u u               ;   . '   . '   .   '   . ' u u   x x   y y   z z            ;   .   0 u v   u   v                    Công   th  c   tính      dài   2 2   2   2   2   2   2   . u   x   y   z   u   x   y   z                        2   GV:   Nguyen   Xuan   Chung     Công   th  c   tích   có   h  ng      nh   ngh  a :   Tích   có   h  ng   c  a       ;   ; u   x y z      và       '   ';   ';   ' u   x   y   z      là   m  t   véc   t    có   t  a     xác    nh   b  i   công   th  c:  '   ;   ;   (   '   ';   '   ';   '   ') '   '   '   '   '   '  y   z   z   x   x   y u   u   yz   zy   zx   xz   xy   yx y   z   z   x   x   y                                     w        .     Tính   ch  t:   ' u   u         =   u     .   ' u     .sin(   u     ,   ' u     );   w.   0; w. '   0 u   u              ,   ...     Chú    .   Ta   còn   ký   hi  u   tích   có   h  ng   là   ,   ' u u             ho  c   ' u   u         .  2.   M  t   s    ví   d    gi  i   toán .  Ví   d    1:   Trong   không   gian   Oxyz   ,   cho   tam   giác   A BC   có       4;   1; 2 A         ,       3;5;   10 B      .   Trung    i  m   c  nh  A C   thu  c   tr  c   tung,   trung    i  m   c  nh   B C   thu  c   m  t   ph  ng       Oxz   .   T  a    nh   C   là:  A.       4;   5;   2 C         .   B.       4;5; 2 C   .   C.       4;   5; 2 C      .   D.       4;5;   2 C      .     Phân   tích:  +   Ki  n   th  c:   Trung    i  m   c  a    o  n   th  ng  +   V  n   d  ng:    i   v  i   AC   và   BC  +   K    n  ng:   H(0;   y;   0)   là   trung    i  m   AC   0;   0 C   A   C   A x   x   z   z                (Lo  i          B   và   C)  K(x;   0;   z)   là   trung    i  m   BC   0 C   B y   y          (Lo  i          D)      s  :   Ch  n   A.  Ví   d    2:   Trong   không   gian   Oxyz   ,   cho    i  m       1; 2;3 A   .   Kho  ng   cách   t    A    n   tr  c   Oy   b  ng:  A.   10.   B.   10.   C.   2.   D.   3.     Phân   tích:  +   Ki  n   th  c:   Kho  ng   cách   t  i  m    n   tr  c   t  a     +   V  n   d  ng:    i   v  i   A  +   K    n  ng:   H(0;   2;   0)   là   hình   chi  u   A   trên   Oy   2   2   2   2 1   3   10 HA   OA   OH                      s  :   Ch  n   B.  Ví   d    3:   Trong   không   gian   Oxyz   ,   cho   ba   vect        3;   1;   2 a              ,       1; 2; b   m      và       5;1;7 c        .   Giá   tr   c  a   m      , c   a b                 là:  A.   1    .   B.   0   .   C.   1 .   D.   2   .     Phân   tích:  +   Ki  n   th  c:   Tích   CÓ   H  NG   c  a   hai   véc   t   +   V  n   d  ng:    i   v  i   a     và   b    +   K    n  ng:   Tính   ch  t   c  a   tích   có   h  ng:   .   0   5   2   7   0   1. c b   m   m                           s  :   Ch  n   A.  Ví   d    4:   Trong   không   gian   v  i   Oxyz   ,   cho   hai   vect    a     và   b     th  a   mãn   2   3,   3 a   b            và         0 ,   30 a b        .     dài   c  a   vect    5 ,   2 a   b                 b  ng:  A.   3   3.   B.   9.   C.   30   3.   D.   90.

Các bài toán chọn lọc trong hệ tọa độ Oxyz (phần 1) – Nguyễn Xuân Chung

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG NÂNG CAO  Câu 1:   [2H3-3.2-3]   Trong không gian với hệ tọa độ   Oxyz   , viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng   2   3   4  :   2   3   5                  x   y   z d   và   1   4   4  :   3   2   1                      x   y   z d   .  A.   1  1   1   1         x   y   z   .   B.   2   2   3  2   3   4               x   y   z   .  C.   2   2   3  2   2   2               x   y   z   .   D.   2   3  2   3   1               x   y   z   .  Câu 2:   [2H3-3.2-3]   Trong không gian với hệ tọa độ   Oxyz   , cho mặt phẳng         :   2   4   0           P   x   y   z   và    1   2  :   2   1   3            x   y   z d   . Viết phương trình đường thẳng      nằm trong mặt phẳng      P   , đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng   d   .  A.   1   1   1  5   1   3                   x   y   z   .   B.   1   1   1  5   1   3                  x   y   z   .  C.   1   1   1  5   1   2                x   y   z   .   D.   1   3   1  5   1   3                x   y   z   .  Câu 3:   [2H3-3.2-3]   Trong   không   gian   Oxyz   ,   cho   hai      thẳng   1 3   3   2 :   1   2   1  x   y   z d                     ;  2 5   1   2 :   3   2   1  x   y   z d                  và mặt phẳng         :   2   3   5   0 P   x   y   z             . Đường thẳng vuông góc với       P   , cắt   1 d   và   2 d   có phương trình là  A.   1   1 1   2   3  x   y   z            .   B.   2   3   1  1   2   3  x   y   z               .  C.   3   3   2  1   2   3  x   y   z               .   D.   1   1 3   2   1  x   y   z            .  Câu 4:   [2H3-3.2-3]   Phương trình đường thẳng song song với đường thẳng   1   2 :   1   1   1  x   y   z  d              và cắt hai đường thẳng   1 1   1   2 :   2   1   1  x   y   z d                    ;   2 1   2   3 :   1   1   3  x   y   z  d                  là:  A.   1   1   2  1   1   1  x   y   z                   .   B.   1   1  1   1   1  x   y   z               .  C.   1   2   3  1   1   1  x   y   z                  .   D.   1   1  1   1   1  x   y   z             .  Câu 5:   [2H3-3.2-3]   Trong không gian   Oxyz   , cho ba điểm       1;1;1 A   ,       1;2;0 B      ,       2;   3;2 C      . Tập hợp tất cả các điểm   M   cách đều ba điểm   A   ,   B ,   C   là một đường thẳng   d   . Phương trình tham số của đường thẳng   d   là:  A.  8   3  15   7  x   t  y   t z   t                     .   B.  8   3  15   7  x   t  y   t z   t                     .   C.  8   3  15   7  x   t  y   t z   t                     .   D.  8   3  15   7  x   t  y   t z   t                     .  Câu 6:   [2H3-3.2-3]   Trong không gian cho đường thẳng   1   1   2  :   2   1   1  x   y   z                  . Tìm hình chiếu vuông góc của      trên mặt phẳng       Oxy   .A.  0 1 0  x y   t z               .   B.  1   2  1  0  x   t  y   t  z                  .   C.  1   2  1 0  x   t  y   t  z                  .   D.  1   2  1 0  x   t  y   t  z               .  Câu 7:   [2H3-3.2-3]   Trong không gian với hệ tọa độ   Oxyz   , cho các điểm       2;0; 0 A   ;       0;3; 0 B   ;      0; 0; 4 C   . Gọi   H   là trực tâm tam giác   ABC   . Tìm phương trình tham số của đường thẳng  OH   .  A.  4  3  2  x   t  y   t  z   t               .   B.  3  4  2  x   t  y   t  z   t               .   C.  6  4  3  x   t  y   t  z   t               .   D.  4  3  2  x   t  y   t  z   t               .  Câu 8:   [2H3-3.2-3]   Trong   không   gian   Oxyz   ,   cho   ba      thẳng   1 3   1   2 :   2   1   2  x   y   z d                    ,  2 1   4 :   3   2   1  x   y   z d                  và   3 3   2 :   4   1   6  x   y   z  d                . Đường thẳng song song   3 d , cắt   1 d   và   2 d   có phương trình là  A.   3   1   2  4   1   6  x   y   z               .  B.   3   1   2  4   1   6  x   y   z                   . C.   1   4  4   1   6  x   y   z             . D.   1   4  4   1   6  x   y   z             .  Câu 9:   [2H3-3.2-3]   Trong không gian   Oxyz   , cho mặt phẳng         :   2   0 y   z           và hai đường thẳng:  1 1 : 4  x   t  d   y   t  z   t                  ;   2 2 :   4   2 4  x   t  d   y   t  z                       . Đường thẳng      nằm trong mặt phẳng          và cắt hai đường thẳng   1 d ;   2 d có phương trình là  A.   1 7   8   4  x   y   z          .   B.   1 7   8   4  x   y   z            .   C.   1 7   8   4  x   y   z            .   D.   1 7   8   4  x   y   z          .  Câu 10:   [2H3-3.2-3]   Trong không gian   Oxyz   , cho đường thẳng   1   2  :   1   1   1  x   y   z d               và mặt phẳng        : 2   2   1   0 P   x   y   z             . Đường thẳng nằm trong       P   , cắt và vuông góc với   d   có phương trình là  A.   2   1   3  3   4   1  x   y   z               .   B.   2   1   3  3   4   1  x   y   z                  .  C.   2   1   3  3   4   1  x   y   z               .   D.   1   1   1  3   4   1  x   y   z               .  Câu 11:   [2H3-3.2-3]   Trong không gian với hệ tọa độ Descartes   Oxyz   , cho điểm       0;   1; 2  M   và hai    1 1   2   3 :   1   1   2                x   y   z  d   ,   2 1   4   2 :   2   1   4                x   y   z d   . Phương trình đường thẳng đi qua  M   , cắt cả   1 d   và   2 d   là  A.   1   3  9   9   8 2   2             x   y   z   .   B.   1   2  3   3   4             x   y   z   .   C.   1   2  9   9   16             x   y   z   .   D.   1   2  9   9   16             x   y   z   .  Câu 12:   [2H3-3.2-3]   Trong   không   gian   Oxyz   ,   cho   ba      thẳng   1 1   1 :   2   3   1  x   y   z  d                 ;  2 2   1 :   1   2   2  x   y   z  d                ;   3 3   2   5 :   3   4   8  x   y   z d                     . Đường thẳng song song với   3 d , cắt   1 d   và   2 d   có phương trình là

Bài tập phương trình đường thẳng nâng cao

Giáo viên soạn  Lê Thảo-THPT Nguyễn Thị Minh Khai- Hà Nội  Bùi Sỹ Khanh- THPT Trần Cao Vân- TP. HCM  Các bài toán trong không gian Oxyz không còn xa lạ với học sinh và xuất hiện nhiều trong những đề thi gần    tới hy vọng bài viết này sẽ giúp các em có hướng tiếp cận và giải quyết các bài toán đó một cách dễ dàng nhất.  I.  Trong   không   gian   , Oxyz   cho   mặt   phẳng                   : Ax   z   0 P   By   C   D   và   mặt   cầu                                         2   2   2   2  : S   x   a   y   b   z   c   R   có tâm       ;   ; I   a b c   và bán kính   R   khi đó :  +) Nếu          ( ;   ) d I   P   R   thì mặt cầu (   ) S   và       P   không có điểm chung.  +) Nếu   ( ;(   )) d I   P   R    thì mặt cầu (   ) S   và   (   ) P   có điểm chung duy nhất là   H   (mặt phẳng tiếp xúc  với mặt cầu tại   H   )và   (   ). IH   P   +) Nếu          ( ;   ) d I   P   R   thì mặt cầu (   ) S   và cắt mặt phẳng       P   theo giao tuyến là đường tròn tâm   H  bán kính   r   ta có :  - Gọi   H   là hình chiếu vuông góc của   I   lên       P   và               2   2   2  ( ;   )  (   ) I   P  r   IH   R   d   IH  - Cho điểm   M   nằm trong mặt cầu       S   mặt phẳng       P      M   cắt       S   theo giao tuyến là đường  tròn có bán kính   r   nhỏ nhất           IM   P  - Cho điểm   M   nằm trong mặt cầu       S   mặt phẳng       P      M   cắt       S   theo giao tuyến là đường  tròn có bán kính   r   lớn nhất          P      I   và   . MTrong không gian   , Oxyz         và mặt cầu       S   có tâm   I   và bán kính   R   khi đó :  +) Nếu    ( ;   ) d I   R   thì mặt cầu (   ) S   và      không có điểm chung.  +) Nếu       ( ;   ) d I   R   thì mặt cầu (   ) S   và      có điểm chung duy nhất là   H   khi đó    . IH  +) Nếu    ( ;   ) d I   R   thì mặt cầu (   ) S   và cắt đường thẳng      tại hai điểm   , A   B   ta có một số kết quả  sau :  - Gọi   H   là trung điểm       AB   IH   và                2  2   2  ( ;   )   ( ;   )  (   )  4 I   I  AB  d   R   d   IH  - Cho điểm   M   khi đó đường thẳng đi qua   M   cắt       S   tại hai điểm   , A B   sao cho độ dài  AB   lớn nhất là đường thẳng đi qua 2 điểm   M   và   I  - Cho điểm   M   nằm trong mặt cầu       S      M   cắt       S   tại hai điểm   , A B   sao cho     AB   nhỏ nhất là đường thẳng đi qua   M   và vuông góc   . IM  Chứng minh  Ta có                      2  2   2   2   2  ( ;   )   ( ;   )  2  4 I   I  AB  d   R   AB   R   d  Vì    HIM   vuông tại   H   nên ta có       0   IH   IM  +)   AB   lớn nhất            ( ;   )   0 I  d   qua 2 điểm   I   và   . M  +)   AB   nhỏ nhất            ( ;   ) I  d   IM   vuông góc   . IM

Bài toán tương giao trong không gian Oxyz

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG    Nguyễn Bảo Vương : https://www.facebook.com/phong.baovuong   1  CHUYÊN     23  MỤC LỤC  PHẦN A. CÂU HỎI   ....................................................................................................................................................... 2  Dạng 1. Xác định VTCP ................................................................................................................................................. 2  Dạng 2. Xác định phương trình đường thẳng  .............................................................................................................. 4  Dạng 2.1 Xác định phương trình đường thẳng cơ bản   ................................................................................................. 4  Dạng 2.2 Xác định phương trình đường thẳng khi biết yếu tố vuông góc   ................................................................... 6  Dạng 2.3 Xác định phương trình đường thẳng khi biết yếu tố song song  .................................................................. 10  Dạng 2.4 Xác định một số phương trình đường thẳng đặc biệt (phân giác, trung tuyến...)   ...................................... 11  Dạng 3. Một số bài toán liên quan giữa điểm với đường thẳng   ............................................................................... 14  Dạng 3.1 Bài toán liên quan điểm (hình chiếu) thuộc đường, khoảng cách ............................................................... 14  Dạng 3.2 Bài toán cực trị ............................................................................................................................................ 17  Dạng 4. Một số bài toán liên quan giữa đường thẳng với mặt phẳng ...................................................................... 19  Dạng 4.1 Bài toán liên quan khoảng cách, góc   .......................................................................................................... 19  Dạng 4.2 Bài toán phương trình mặt phẳng, giao tuyến 2 mặt phẳng  ....................................................................... 20  Dạng 4.3 Bài toán giao điểm (hình chiếu, đối xứng) của đường thẳng với mặt phẳng  .............................................. 22  Dạng 4.4 Bài toán cực trị ............................................................................................................................................ 25  Dạng 5. Một số bài toán liên quan giữa đường thẳng thẳng với đường thẳng   ....................................................... 30  Dạng 6. Một số bài toán liên quan giữa đường thẳng với mặt cầu   .......................................................................... 32  Dạng 7. Một số bài toán liên quan giữa điểm – mặt – đường – cầu  ......................................................................... 32  Dạng 7.1 Bài toán tìm điểm ........................................................................................................................................ 32  Dạng 7.2 Bài toán tìm mặt phẳng   ............................................................................................................................... 34  Dạng 7.3 Bài toán tìm đường thẳng  ............................................................................................................................ 34  Dạng 7.4 Bài toán tìm mặt cầu .................................................................................................................................... 35  Dạng 7.5 Bài toán cực trị ............................................................................................................................................ 37  PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO  ........................................................................................................................... 40  Dạng 1. Xác định VTCP ............................................................................................................................................... 40  Dạng 2. Xác định phương trình đường thẳng  ............................................................................................................ 41  Dạng 2.1 Xác định phương trình đường thẳng cơ bản   ............................................................................................... 41  Dạng 2.2 Xác định phương trình đường thẳng khi biết yếu tố vuông góc   ................................................................. 43  Dạng 2.3 Xác định phương trình đường thẳng khi biết yếu tố song song  .................................................................. 48  Dạng 2.4 Xác định một số phương trình đường thẳng đặc biệt (phân giác, trung tuyến...)   ...................................... 50  Dạng 3. Một số bài toán liên quan giữa điểm với đường thẳng   ............................................................................... 58  Dạng 3.1 Bài toán liên quan điểm (hình chiếu) thuộc đường, khoảng cách ............................................................... 58  Dạng 3.2 Bài toán cực trị ............................................................................................................................................ 61  PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUANCÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG    Nguyễn Bảo Vương : https://www.facebook.com/phong.baovuong   2  Dạng 4. Một số bài toán liên quan giữa đường thẳng với mặt phẳng ...................................................................... 65  Dạng 4.1 Bài toán liên quan khoảng cách, góc   .......................................................................................................... 65  Dạng 4.2 Bài toán phương trình mặt phẳng, giao tuyến 2 mặt phẳng  ....................................................................... 67  Dạng 4.3 Bài toán giao điểm (hình chiếu, đối xứng) của đường thẳng với mặt phẳng  .............................................. 69  Dạng 4.4 Bài toán cực trị ............................................................................................................................................ 78  Dạng 5. Một số bài toán liên quan giữa đường thẳng thẳng với đường thẳng   ....................................................... 95  Dạng 6. Một số bài toán liên quan giữa đường thẳng với mặt cầu   .......................................................................... 97  Dạng 7. Một số bài toán liên quan giữa điểm – mặt – đường – cầu  ......................................................................... 99  Dạng 7.1 Bài toán tìm điểm ........................................................................................................................................ 99  Dạng 7.2 Bài toán tìm mặt phẳng   ............................................................................................................................. 102  Dạng 7.3 Bài toán tìm đường thẳng  .......................................................................................................................... 104  Dạng 7.4 Bài toán tìm mặt cầu .................................................................................................................................. 106  Dạng 7.5 Bài toán cực trị .......................................................................................................................................... 112  PHẦN A. CÂU HỎI Dạng 1. Xác định VTCP  Câu 1.   (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian   Oxyz   , đường thẳng 2 :   1   2 3  x   t d   y   t z   t                        có một vectơ chỉ phương là: A.       1   1; 2;3 u           B.       3   2;1;3 u         C.       4   1; 2;1 u            D.       2   2;1;1 u        Câu 2.   (Mã 102 - BGD - 2019) Trong không gian   Oxyz   , cho đường thẳng   1   3   2 :   2   5   3  x   y   z d                  . Vectơ nào dưới    d A.       1;3;   2 u           .   B.       2;5;3 u        .   C.       2;   5;3 u           .   D.       1;3;2 u        . Câu 3.   (MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Trong không gian với hệ toạ độ   Oxyz   , cho hai điểm       1;1; 0 A   và      0;1; 2 B   . Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng   AB   . A.       1;1; 2 d           B.       1;0;   2 a              C.       1; 0; 2 b           D.       1; 2; 2 c       Câu 4.   (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian   Oxyz   , đường thẳng   3   1   5 :   1   1   2  x   y   z d                  có một vectơ chỉ phương là A.       1   3;   1;5 u           B.       4   1;   1; 2 u            C.       2   3;1;5 u            D.       3   1;   1;   2 u              Câu 5.   (Mã 103 - BGD - 2019) Trong không gian   Oxyz   , cho đường thẳng   2   1   3 :   . 1   3   2  x   y   z d                  Vectơ nào dưới    ? d A.       4   1;3; 2 . u         B.       3   2;1;3 . u            C.       1   2;1; 2 . u           D.       2   1;   3; 2 . u         

Các dạng toán phương trình đường thẳng và một số bài toán liên quan

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG    Nguyễn Bảo Vương : https://www.facebook.com/phong.baovuong   1  CHUYÊN     21  MỤC LỤC  PHẦN A. CÂU HỎI ......................................................................................................................................................... 1  Dạng 1. Tìm tọa độ điểm, véc tơ liên quan đến hệ trục tọa dộ OXYZ  ............................................................................. 1  Dạng 2. Tích vô hướng, tích có hướng và ứng dụng  ........................................................................................................ 8  Dạng 2.1 Tích vô hướng và ứng dụng  .......................................................................................................................... 8  Dạng 2.2 Tích có hướng và ứng dụng   .......................................................................................................................... 9  Dạng 3. Mặt cầu   ............................................................................................................................................................. 10  Dạng 3. Xác định tâm, bán kính của mặt cầu  ............................................................................................................. 10  Dạng 3. Viết phương trình mặt cầu   ............................................................................................................................ 13  Dạng 3. Một số bài toán khác  ..................................................................................................................................... 16  Dạng 4. Bài toán cực trị .................................................................................................................................................. 17  PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO   .............................................................................................................................. 19  Dạng 1. Tìm tọa độ điểm, véc tơ liên quan đến hệ trục tọa dộ OXYZ  ........................................................................... 19  Dạng 2. Tích vô hướng, tích có hướng và ứng dụng  ...................................................................................................... 27  Dạng 2.1 Tích vô hướng và ứng dụng  ........................................................................................................................ 27  Dạng 2.2 Tích có hướng và ứng dụng   ........................................................................................................................ 28  Dạng 3. Mặt cầu   ............................................................................................................................................................. 31  Dạng 3. Xác định tâm, bán kính của mặt cầu  ............................................................................................................. 31  Dạng 3. Viết phương trình mặt cầu   ............................................................................................................................ 34  Dạng 3. Một số bài toán khác  ..................................................................................................................................... 37  Dạng 4. Bài toán cực trị .................................................................................................................................................. 42  PHẦN A. CÂU HỎI Dạng 1. Tìm tọa độ điểm, véc tơ liên quan đến hệ trục tọa dộ OXYZ Câu 1.   (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian   Oxyz   , cho hai điểm       1;1;   2 A      và       2; 2;1 B   . Vectơ   AB      có tọa độ là A.       1;   1;   3          B.       3;1;1   C.       1;1;3   D.       3;3;   1  Câu 2.   (Mã đề 104 - BGD - 2019) Trong không gian   Oxyz   , hình chiếu vuông góc của điểm       3;1;   1 M      trên trục   Oy   có tọa độ là A.       3;0;   1    .   B.       0;1; 0   .   C.       3; 0; 0   .   D.       0;0;   1    .  HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXYZ, PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦUCÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG    Nguyễn Bảo Vương : https://www.facebook.com/phong.baovuong   2  Câu 3.   (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian   Oxyz   , cho hai điểm       2;   4;3 A      và       2;2;7 B   . Trung điểm của đoạn thẳng   AB   có tọa độ là A.       4;   2;10    B.       1;3; 2   C.       2;6; 4   D.       2;   1;5   Câu 4.   (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ   Oxyz   , cho các điểm      3;   4;0 A      ,       1;1;3 B      ,       3,1, 0 C   . Tìm tọa độ điểm   D   trên trục hoành sao cho   AD   BC    . A.       6;0;0 D   ,       12;0;0 D   B.       0;0;0 D   ,       6;0;0 D  C.       2;1;0 D      ,       4;0;0 D      D.       0;0;0 D   ,       6;0;0 D     Câu 5.   (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Trong không gian   , Oxyz   cho hai điểm       1;1;   1 A     và       2;3; 2 B   . Vectơ   AB    có tọa độ là A.       1; 2; 3   B.       1;   2; 3       C.       3;5;1   D.       3; 4;1 Câu 6.   (Mã 103 - BGD - 2019) Trong không gian   Oxyz   , hình chiếu vuông góc của điểm       2;1;   1 M      trên trục   Oy   có tọa độ là A.       0;0;   1    .   B.       2;0;   1    .   C.       0;1;0   .   D.       2;0;0   . Câu 7.   (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ toạ độ   Oxyz   , cho điểm       2; 2;1 A   . Tính độ dài đoạn thẳng   OA   . A.   5 OA      B.   5 OA      C.   3 OA      D.   9 OA     Câu 8.   (Mã 102 - BGD - 2019) Trong không gian   Oxyz   , hình chiếu vuông góc của điểm       3;   1;1 M      trên trục  Oz   có tọa độ là A.       3;   1;0    .   B.       0;0;1   .   C.       0;   1;0    .   D.       3;0;0   . Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ   Oxyz   , cho hai điểm       3;   2;3  A   và       1; 2;5  B   . Tìm tọa độ trung điểm  I   của đoạn thẳng   AB   . A.       1;0; 4 I   .   B.       2;0;8 I   .   C.       2;   2;   1     I   .   D.       2; 2;1  I   . Câu 10. (Mã đề 101 - BGD - 2019) Trong không gian   Oxyz   , hình chiếu vuông góc của điểm       2;1;   1 M     trên trục   Oz   có tọa độ là A.       2; 0;0   .   B.       0;1; 0   .   C.       2;1; 0   .   D.       0;0;   1    . Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ   Oxyz , cho hai điểm       2;3;1 A      và       5; 6; 2 B   . Đường thẳng   AB   cắt mặt phẳng       Oxz   tại điểm   M   . Tính tỉ số   AM BM   . A.   3  AM BM      B.   2  AM BM      C.   1 3  AM BM      D.   1 2  AM BM     Câu 12. (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Trong không gian   Oxyz   , cho điểm       3; 1;1 A      . Hình chiếu vuông góc của điểm   A   trên mặt phẳng       Oyz   là điểm A.       3;0;0 M   B.       0;   1;1 N      C.       0; 1;0 P      D.       0;0;1 Q

Các dạng toán hệ trục tọa độ Oxyz và phương trình mặt cầu thường gặp

 NHÓM WORD – BIÊN SO  N TÀI LI  U   50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020  Trang 117  KI  N TH  C C  N NH  :     Cho điể m       ;   ; M   x y z   : + Hình chi  u c  m   M   trên   Ox   là       1   ; 0;0 M   x   . + Hình chi  u c  m   M   trên   Oy   là       2   0;   ; 0 M   y   . + Hình chi  u c  m   M   trên   Oz   là       3   0; 0; M   z   . + Hình chi  u c  m   M   trên       Oxy   là       4   ;   ; 0 M   x y   . + Hình chi  u c  m   trên       Oyz   là       5   0;   ; M   y z   . + Hình chi  u c  m   trên       Ozx   là       6   ; 0; M   x   z     Tìm hình chi  u c  m   A   trên m  t ph  ng          + Vi      ng th  ng   d      A   và vuông góc v  i           . + Hình chi  u   H   c  m   A   là giao điể m c  ng th  ng   d   và           .     Tìm hình chi  u   d      c  ng th  ng   d   trên m  t ph  ng           . * Cách 1 - N  ng th  ng   d   song song v  i           thì   // d   d   + L  m   M   thu  ng th  ng   d   và tìm hình chi  u   M      c  m   M   trên           .  + Đườ ng th  ng   d       M      và song song v  ng th  ng   d   . - N  u    ng th  ng   d   c  t           t  i   M  + L  m   N   thu  ng th  ng   d   và tìm hình chi  u   N      c  a   N   trên           .  + Đườ ng th  ng   d     m là   M   và   N      . * Cách 2 + Vi    t ph  ng          ch  ng th  ng   d   và vuông góc v  i           .  + Khi đó đườ ng th  ng   d      là giao tuy  n c  a hai m  t ph  ng           và           .     Tìm hình chi  u   A    c  a   A   trên đườ ng th  ng   d   . * Cách 1: + Vi    t ph  ng       P   ch  a   A   và vuông góc v  i   d   . + Hình chi  u   A    là giao điể m c  a   d   và       P   . * Cách 2:  M  M  BÀI TOÁN TÌM HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM TRÊN MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ NHÓM WORD – BIÊN SO  N TÀI LI  U   50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020  Trang 118  + Tìm t     m   A    theo tham s    t       A   d    . + L     .   0 d AA u         . Gi     t   suy ra t     m   A  .     Tìm    m   M       i x  ng v  i   M   qua       P   : + Tìm hình chi  u   H   c  a   M   trên       P   (khi đó   H   là trung điể m   MM      ). + Áp d  ng công th  c tính t    trung điể m suy ra t     m   M      .  BÀI T  P M  U  (ĐỀ   MINH H  A BDG 2019-2020)   Trong không gian   Oxyz   , hình chi  u vuông góc c  m      2;   2;1 M      trên m  t ph  ng       Oxy   có t    là  A.       2; 0;1   .   B.       2;   2; 0    .   C.       0; 2;1    .   D.       0; 0;1   .  Phân tích hướ ng d  n gi  i  1. D  NG TOÁN:    nh hình chi  u c  m trong không gian trên m  t ph  ng t  a   .  2.   HƯỚ NG GI  I: B1:   Xác đị nh các t    c  m   M   .  B2:   Vi  t k  t lu  n.  T       gi  i bài toán c    th    như sau:  L  i gi  i Ch  n B  Hình chi  u vuông góc c  m       2;   2;1 M      trên m  t ph  ng       Oxy   có t    là       2;   2; 0   Bài t    và phát tri  n: Câu 1.1:   Hình chi  u vuông góc c  m       2;3;   1 A      trên m  t ph  ng       Oyz   là điể m  A.       2; 0;0 M   .   B.       0;   3;1 N      .   C.       0;3;   1 P      .   D.       2;3;   1 Q         .  L  i   gi  i Ch  n   C  Hình chi  u vuông góc c  m       2;3;   1 A      trên m  t ph  ng       Oyz   là điể m  Câu 1.2:   Hình chi  u vuông góc c  m       3;1;   1 A      trên m  t ph  ng       Oxz   là điể m  A.       3; 0;   1 A       .   B.       0;1; 0 A    .   C.       3;1;1 A    .   D.       0;1;   1 A       .  L  i   gi  i Ch  n   A  Hình chi  u vuông góc c  m       3;1;   1 A      trên m  t ph  ng       Oxz   là điể m       3; 0;   1 A       .  Câu 1.3:   Hình chi  u vuông góc c  m       5;   4;3 A      trên tr  c   Ox   là điể m  A.       5; 4; 0 A    .   B.       5;0; 0 A    .   C.       5; 4;   3 A       .   D.       5; 4;   3 A       .      0;3;   1 P   

Bài toán tìm hình chiếu của điểm trên mặt phẳng tọa độ

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam   Chương III - Bài 3.   Phương Trình Đường Thẳng  149  Lớp Toán Thầy - Diệp Tuân  Tel: 0935.660.880  A.   L Ý   THUY    T  I. VÉCTƠ CHỈ PHƯƠNG :  1. Định nghĩa:  Cho đường thẳng    . Véc tơ 0 u      gọi là véc tơ chỉ   phương  (VTCP) của đường thẳng    nếu giá của nó song song hoặc  trùng với    .  2. Chú ý :  Nếu u   là VTCP của    thì .   (   0) k u   k      cũng là VTCP của   Nếu đường thẳng     A   và B   thì AB   là một VTCP.  Nếu    là giao tuyến của hai mặt phẳng     P   và     Q   thì , p   Q n   n          là một VTCP của    (Trong đó , p   Q n   n   lần lượt  là VTPT của     P   và     Q   ).  I I. PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG.  1.   Phương trình tham số của đường thẳng .  Cho đường thẳng         0   0   0 ;   ; A x   y   z   và có VTCP     ; ; u   a b c    .  Khi đó phương trình đường thẳng tham số    có dạng: 0 0 0  (1)  x   x   at y   y   bt   t z   z   ct                          t   gọi là tham số.  Chú ý .   Cho đường thẳng    có phương trình  1     ; ; u   a b c   là một VTCP của .   N  u đi  m     0   0   0 ;   ; M   M   x   at y   bt z   ct             . Đây là kỹ thuật chọn điểm thuộc đường thẳng  (  1 ẩn theo t   ) để giải các bài toán lập hệ dựa vào tính chất: vuông góc, cùng   phương, thẳng  hàng, khoảng cách, góc....  2.   Phương trình chính tắc:  Cho đường thẳng         0   0   0 ;   ; M   x   y   z   và có VTCP     ; ; u   a b c    với 0 abc      . Khi đó phương trình      có dạng: 0   0   0   (2)  x   x   y   y   z   z a   b   c                 2  gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng    .  3. Ví dụ minh họa.   Ví d    1.   Vi  t phương trình tham s    c  a đư  ng th  ng    , bi  t  1 ) .      m     1;2;4 A   và     3;5;   1 . B        2 ) .     A   (      i đư  ng th  ng 1   2 :   2   1   1  x   y   z d            3 ) .    là giao tuy  n c  a hai m  t ph  ng       :   3   0 x   y   z                 và       : 2   1   0 y   z             4 ) .    n  m trong m  t ph  ng       :   3   0 x   y   z                   ng th  i    c  t và vuông góc v  i đư  ng  th  ng 1   2 :   2   1   1  x   y   z d           u  A  u n    n   M       À   I   3 .   PH  NG TR  NH     NG TH  NGTrung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam   Chương III - Bài 3.   Phương Trình Đường Thẳng  150  Lớp Toán Thầy - Diệp Tuân  Tel: 0935.660.880  Lời   giải  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........

Bài toán phương trình đường thẳng – Diệp Tuân

1   Diendangiaovientoan   GV: Nguyen Xuan Chung    I.   CÁC VẤ ĐỀ VÀ VÍ DỤ GIẢI TOÁ 1. Vấn đề 1: Lập phương trình đường thẳng  Trong phần này chúng ta nghiên cứu giải một số bài toán về đường thẳng trong hệ tọa không gian Oxyz ở mức vận dụng và vận dụng cao. Trong đó có các mối liên hệ bao gồm điểm - đường thẳng - mặt phẳng - mặt cầu, nhưng chủ đề là đường thẳng. Như lập phương trình đường thẳng. Có một số bài toán mà đề bài cho giả thiết về đường thẳng, nhưng trong bài làm ta rất ít sử dụng    Ví dụ 1.   ( BGD - Đề thi chính thức THPTQG 2018 M101 C39 )  Trong không gian   Oxyz   , cho mặt cầu   (   ) (   )   (   )   (   )  2   2   2  :   1   1   1   9 S   x   y   z +   +   +   +   +   =   và điểm   (   ) 2;3;   1 A      . Xét các    M   thuộc   (   ) S   sao cho đường thẳng   AM   tiếp xúc với   (   ) S   . Điểm   M   luôn thuộc mặt phẳng có phương trình là  A.   6   8   11   0 x   y +   +   =   .   B.   3   4   2   0 x   y +   +   =   .   C.   3   4   2   0 x   y +      =   .   D.   6   8   11   0 x   y +      =   .  Hướng dẫn.  Gọi   (   ) 1;   1;   1        I   là tâm mặt cầu, ta có tam giác AMI vuông tại M nên điểm M thuộc mặt cầu đường kính AI có tâm   1   ;1;   1 2                  K   , bán kính   5  2   , phương trình là   (   )   (   )   (   )  2 2   2 1   25  ' :   1   1 2   4         +      +   +   =          S   x   y   z   . Như vậy điểm   (   ) ;   ; M   x y z   thuộc cả hai mặt cầu   (   )   (   ) ,   ' S   S   nên trừ các vế ta được:  3   11 3   4   3   4   2   0 4   4  +   +   =      +      = x   y   x   y   .   Chọn C .  Lời bình.  Sau khi giải một bài chúng ta không dừng lại ở bài giải, mà tự đặt ra câu hỏi là: bài này nói về kiến thức gì? Cần kỹ năng gì? Từ đó chúng ta xác định vấn đề cần giải quyết hay mở rộng cho các bài toán tương tự. Chúng ta có thể nhìn nhận bài toán dưới 3 hình thức: - Thứ nhất: điểm M xem như giao của hai mặt cầu tâm I và   tâm K . - Thứ hai: nếu ta tính AM =   2   2   2   2   = cons    =      = AI   IM   AI   R   t   r   khi đó điểm M là giao của mặt cầu  tâm A , bán kính   r   với mặt cầu tâm I đã cho. - Thứ ba: điểm M có giới hạn chính xác là một đường tròn giao tuyến, chứ không đơn thuần chỉ nằm trên mặt phẳng. Mặt phẳng này có véc tơ pháp tuyến là   IA      . Từ đó ta liên hệ với các kiến thức lớp 11 và lớp 9. Nói cách khác: chúng ta khai thác các kiến thức về hình học lớp 9, lớp 10, lớp 11 hay lớp 12 đều được, tùy theo đối tượng HS để triển khai. Tức là hình học tổng hợp hoặc tọa độ hóa. Đối với HS thì vừa cụ thể, vừa trừu tượng lại có tính khái quát. Như thế ta rèn luyện tư duy khá tốt cho các em về vị trí tương đối giữa điểm - đường thẳng - mặt phẳng - mặt cầu.   Ví dụ 2.   ( BGD - Đề thi chính thức THPTQG 2017 M101 C37 )  Trong không hệ tọa độ   Oxyz   , cho hai đường thẳng   1  1   3  :   2  2  =   +     = −   +     =   x   t  d   y   t  z  ,   2  1   2 :   2   1   2     +  =   =    x   y   z  d   và mặt phẳng   (   )   : 2   2   3   0 +      = P   x   y   z   . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua giao điểm của   1 d   và   (   ) P   , đồng thời vuông góc với   2 d   ?  A.   2   2   22   0    +   +   = x   y   z   .   B.   2   2   13   0    +   +   = x   y   z   .   C.   2   2   13   0    +      = x   y   z   .   D.   2   2   22   0 +   +      = x   y   z   .2   Diendangiaovientoan   GV: Nguyen Xuan Chung  Hướng dẫn. hận xét : Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm cùng phương với   (   ) 2   2;   1;2 =    u     nên loại đáp án   D . Ta tìm giao điểm   M   của   1 d   và   (   ) P   , ghi   (   )   (   ) 2 1   3   2   2   3   2 +   +          X   X   bấm Shift Solve ta có X = 1 =   t . Sửa thành   (   )   (   ) 2 1   3   2   2   2 +      +    X   X   bấm = ta có 13 nên   chọn C .  Lời bình.  Cách tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng là tìm tham số   t , chỉ khác hơn ở đây ta chọn máy tính    (   )   (   ) 2 1   3   2   2   3   2   0   1 +   +            =      = t   t   t   rồi thay trở về ta có giao điểm   (   ) 4;   1; 2  M   sau đó viết phương trình mặt phẳng   (   )   (   )   (   ) 2   4   1   2   2   0       +   +      = x   y   z   . Rõ ràng ta lặp lại một số thao tác mà trong khi không sử dụng máy tính? Nếu vậy thì làm sao đủ thời gian? Bài toán trên có liên quan đến đường thẳng trong không gian, nhưng lại hỏi về mặt phẳng.  túng trong giải toán. Nhiệm vụ của GV là dẫn dắt các em tiếp cận dưới góc độ dễ hiểu nhất có thể được, kết hợp sự trừu tượng khi bấm máy Casio,   chỉ tự luận đơn thuần sẽ không đáp ứng nhu cầu thực tế .   Ví dụ 3.   ( THPT LƯƠNG THẾ VINH )  Trong hệ   Oxyz   , cho điểm A(1; 2; 3) và hai mặt phẳng (P): 2x + 2y + z +1 = 0, (Q): 2x - y + 2z - 1 = 0. Phương trình đường thẳng d đi qua A song song với cả (P) và (Q) là  A.   1   2   3  1   1   4  x   y   z         =   =      B.   1   2   3  1   2   6  x   y   z         =   =      C.   1   2   3  1   6   2  x   y   z         =   =   D.   1   2   3  5   2   6  x   y   z         =   =       .  Hướng dẫn. hận xét : cả 4 phương án đều cho đường thẳng đi qua A nên ta cần xác định véc tơ chỉ phương. Gọi   (   ) ; ; = u   a b c     là véc tơ chỉ phương của đường thẳng, ta có   1 2  .   0   2   2   0 2   2   0 .   0     =   +   +   =               +   = =       u n   a   b   c a   b   c u n          . Cho   c   = 1 ta có hệ   2   2   1  2   2  +   = −        = −   a   b a   b   , giải ra ta có   (   )  5   1   5 1   1 ,   ;   ;1   5;   2;   6 6   3   6   3   6          = −   =      =   =                a   b   u     .   Chọn D .  Lời bình.        thì chúng ta thường lấy tích có hướng của hai véc tơ pháp tuyến làm véc tơ chỉ phương:   1   2 ,     =       u   n   n          (hoặc cùng phương). Có hai cách tính   1   2 ,          n   n       phổ biến là: - Tính tự luận: theo định nghĩa và định thức cấp 2. Theo cách này thì nên viết ra giấy nháp theo cột để tính độ chính xác cao. Với các em "học tốt" thì thì việc tính này không khó khăn, nhưng vẫn thích tính theo cách dùng máy tính Casio. - Hỗ trợ máy tính Casio. Thông thường ta vào   Mode 8   Shift VCT (với máy 570ES hay 570Vn) hoặc  Menu 5   (với máy 580VN-x) theo cách này cần thực hiện nhiều thao tác nên cũng mất khá nhiều thời gian. Thậm chí còn chậm, tính nh Nm theo cách 1 còn nhanh hơn (cũng dễ sai hơn về dấu).    Cho thành phần z = 1 hay x = 1 để giải hệ hai 9n còn lại, nghĩa là   (   ) ;   ;1 = u   X Y     sau đó quy đồng mẫu thức là xong. Chú ý là vì chuyển vế thành phần z sang phải nên ta  . Thoạt nhìn về lý thuyết thì khá dài, nhưng vào   Mode   5   1    khá nhanh. Trong đó dòng đầu là 2 = 2 =   - 1   = và dòng thứ hai là 2 = - 1 =   -2   = là được. Không phải ghi ra giấy nháp nhiều. Ban đầu có thể chưa quen nhưng quen rồi thì tính xong X, Y ta đã biết nhanh được kết quả.

Đường thẳng trong hệ trục Oxyz (VD – VDC) – Nguyễn Xuân Chung

TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 Facebook Nguyễn Vương    https://www.facebook.com/phong.baovuong   Trang 1 A. XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ CƠ BẢN CỦA ĐƯỜNG THẲNG     Véctơ chỉ phương   u     của đường thẳng   d   là véctơ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng   . d  Nếu   d   có một véctơ chỉ phương là   u     thì   . k u     cũng là một véctơ chỉ phương của   . d     Nếu có hai véctơ   1  n     và   2  n     cùng vuông góc với   d   thì   d   có một véctơ chỉ phương là   1   2 [   ,   ]. u   n   n                , d   ta cần tìm điểm đi qua và một véctơ chỉ phương. Nếu đường thẳng  1   2   3 (   ;   ;   ) :   :   (   ;   ;   ) d Qua M x   y   z d   VTCP   u   a   a   a                       thì ta có hai dạng phương trình đường thẳng: Phương trình đường thẳng   d   dạng tham số  1 2 3 , (   ).  x   x   a t y   y   a t   t z   z   a t                                        Phương trình đường thẳng   d   dạng chính tắc   1   2   3 1   2   3 , (   0).  x   x   y   y   z   z   a a a a   a   a                        Câu 1.   Trong không gian   , Oxyz   cho đường thẳng   1   2   1 :   . 2   3   1  x   y   z d                      ? d  A.       1; 2;   1 . P      B.       1;   2;1 . M         C.       2;3;   1 . N      D.       2;   3;1 . Q        Câu 2.   Trong không gian   Oxyz   , đường thẳng   1   2   3 :   2   1   2               x   y   z d     A.       2;   1; 2  Q   .   B.       1;   2;   3        M   .   C.       1; 2;3 P   .   D.       2;1;   2     N   .  Câu 3.   Trong không gian   Oxyz   , cho đường thẳng   2   1   3 :   . 1   3   2  x   y   z d                 Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của   ? d  A.       2   1;   3; 2 . u            B.       3   2;1;3 . u            C.       1   2;1; 2 . u           D.       4   1;3; 2 . u        Câu 4.   Trong không gian   Oxyz   , cho đường thẳng   1   3   2 :   2   5   3  x   y   z d                 . Vectơ nào dưới đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng   d  A.       2;5;3 u        .   B.       2;   5;3 u           .   C.       1;3;2 u        .   D.       1;3;   2 u           .  Câu 5.   Trong không gian   Oxyz   cho đường thẳng   3   1   5 :   1   2   3  x   y   z d                 . Vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng   d   ?  A.   1   (3;   1;5) u           .   B.   3   (2;6;   4) u            .   C.   4   ( 2;   4;6) u            .   D.   2   (1;   2;3) u           Câu 6.   Trong không gian   O xyz   , điểm nào dưới đây thuộc đường thằng   2   1   2 :   1   1   2  x   y   z d                .  A.       1;1;2 P   B.       2; 1;2 N      C.       2;1; 2 Q         D.       2; 2;1 M        PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Vấn đề 19  u    . k u     dNGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương      https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Câu 7.   Trong không gian   Oxyz   , điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng   d   : 1 5 2   3  x   t y   t z   t                        ?  A.       1; 2;5 P   .   B.       1;5;2 N   .   C.       1;1;3 Q      .   D.       1;1;3 M   .  Câu 8.   Trong không gian   Oxyz   , đường thẳng 2 :   1   2 3  x   t d   y   t z   t                                có một véctơ chỉ phương là  A.       3   2;1;3 u        .   B.       4   1; 2;1 u           .   C.       2   2;1;1 u        .   D.       1   1; 2;3 u           .  Câu 9.   Trong không gian   , Oxyz   cho đường thẳng   2   1 :   . 1   2   1  x   y   z  d                  d   có một vectơ chỉ phương là  A.       1   1;2;1 u       B.       2   2;1; 0 u        C.       3   2;1;1 u       D.       4   1;2; 0 u       Câu 10.   Trong không gian với hệ tọa độ   Oxyz   , cho đường thẳng        1 :   2   3 ; 5  x d   y   t   t z   t                           . Véctơ nào dưới    d   ?  A.       1   0;3;   1 u           B.       2   1;3;   1 u           C.       3   1;   3;   1 u              D.       4   1; 2;5 u       Câu 11.   Trong không gian với hệ trục tọa độ   Oxyz   , cho đường thẳng   1   2   1 :   2   1   2  x   y   z  d                 nhận véc tơ      ; 2; u a   b     làm véc tơ chỉ phương. Tính   a   b    .  A.   8    .   B.   8   .   C.   4   .   D.   4    .  Câu 12.   Trong không gian với hệ trục tọa độ   Oxyz   , phương trình tham số trục   Oz   là  A.   0 z      .   B.  0 0  x y   t z               .   C.   0 0  x   t  y z               .   D.  0 0  x y z   t               .  Câu 13.   Trong không gian   Oxyz   , cho đường thẳng         1   2 :   3 3   2  x   y d   z               . Vectơ nào dưới đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng       d   ?  A.       1   3; 2;1 u        .   B.       2   3; 2;0 u         .   C.       3   3; 2;3 u         .   D.       4   1; 2;3 u         .  Câu 14.   Trong không gian với hệ tọa độ   Oxyz   , cho đường thẳng d có phương trình   1   2   3 3   2   4  x   y   z                  .    không   thuộc đường thẳng d?  A.       2;   4;7 Q         .   B.       4;0;   1 N      .   C.       1;   2;3 M      .   D.       7; 2;1 P   .  Câu 15.   Trong không gian   Oxyz   , vec tơ nào dưới đây là một vec tơ chỉ phương của đường thẳng 1 :   4 3   2  x   t  d   y z   t                     ?  A.       1; 4;3 u        .   B.       1;4;   2 u           .   C.       1;0;   2 u           .   D.       1;0; 2 u        .  Câu 16.   Trong không gian   Oxyz   , đường thẳng   3   2   1 :   1   1   2  x   y   z  d                  

Tổng ôn tập TN THPT 2020 môn Toán: Phương trình đường thẳng

TÀI LI  U H  C T  P TOÁN 12 – CH  T L  NG   BÀI GI  NG: T  A Đ    KHÔNG GIAN OXYZ  GV. TR   D  ng toán 1.   CÁC V    CƠ BẢ N V    H    TR  C T    OXY Z  A –   PHƯƠNG PHÁP GIẢ I TOÁN  1- H    tr  c   Oxyz :   G  c t        0; 0; 0 O   .  * Điể m   (   )  hoμnh ®é trong ®ã:   tung ®é cao ®é  : ;   ;   : :  M M   M   M   M M x M x   y   z   y z        M   M   M OM   x   i   y   j   z   k                 *   Tr  c t  :  Tr  c   Ox :   0 0  x   t y z                           Tr  c   Oy :  0 0  x y   t z                             Tr  c   Oz :  0 0  x y z   t                            *   M  t ph  ng t  :      Mp   :   0 Oxy   z      Mp( Oxz ):   0 y      Mp( Oyz ):   0 x     2- Các phép toán:   Cho các vectơ             1   2   3   1   2   3 ;   ;   ;   ;   ;   ;   . a a   a   a   b b b b   k               1   1   2   2   3   3 ;   ;   . a   b   c a   b a   b   a   b                          1   2   3 ;   ;   . ka   ka   ka   ka     1   1   2   2   3   3 .   .   .   . a b   a b   a b   a b             ( Tích vô hướ ng )                    2   2   2 1   2   3   . a   a   a   a           3- H    qu  :                   ;   ;   ;   ;   ;   ; C   ;   ;   . A   A   A   B   B   B   C   C   C A x   y   z   B x   y   z   x   y   z      ;   ; B   A   B   A   B   A AB   x   x   y   y   z   z                                2   2   2  B   A   B   A   B   A AB   AB   x   x   y   y   z   z                            m   M   chia đoạ n th  ng AB   theo t    s        1   . k   k   MA   k MB               1 1 1  A   B M A   B M A   B M x   kx x   k y   ky y   k z   kz z   k                                                  H    qu    1:   Công th  m:   (   ;   ;   ) I   I   I I x   y   z   H    qu    2:   Công th  c tr  ng tâm:   (   ;   ;   ) G   G   G G x   y   z   c  a tam  CHƯƠNG   III: T  A Đ    TRONG KHÔNG GIANTÀI LI  U H  C T  P TOÁN 12- CH  NG   BÀI GI  NG: T    TRONG KHÔNG GIAN OXYZ  2 |   BIÊN SO  N VÀ GI  NG D  Y:   TR   c  n   AB   .  2 2 2  A   B I A   B I A   B I x   x x y   y y z   z z                                       giác   ABC   .  3 3 3  A   B   C G A   B   C G A   B   C G x   x   x x y   y   y y z   z   z z                                                 4-   Góc gi              1   2   3   1   2   3 ;   ;   ;   ;   ;   . a a   a   a   b b b b    G  i       , a b           . Lúc đó:                                     1 1   2   2   3   3 2   2   2   2   2   2 1   2   3   1   2   3 . cos   .   .  a b   a b   a b a b a   b   a   a   a   b   b   b                             *    c bi  t:   1 1   2   2   3   3 .   0   0 a   b   a b   a b   a b   a b                              5-    u ki    hai vectơ             1   2   3   1   2   3 ;   ;   ;   ;   ; a a   a   a   b b b b      cùng phương:     1   1 1   2   3 2   2   1   2   3 1   2   3 3   3 \   0   :   hay   nÕu   .   .   0  a   kb   a   a   a k   a   kb   a   kb   b b b b   b   b a   kb                                              6-   Tích có hướ ng c              1   2   3   1   2   3 ;   ;   ;   ;   ; a a   a   a   b b b b      .  *   Công th  c:   (   Quy t  c:   2-3; 3-1; 1-2 )                1   2   3   2   3   3   1   1   2 2   3   3   1   1   2 1   2   3 2   3   2   3   3 1   3   1   1 2   1   2 ;   ;   ,   ;   ; ;   ; ;   ;  a a   a   a   a   a   a   a   a   a c   a b   b   b   b   b   b   b b b b b a b   b a   a b   b a   a b   b a                                                                                             Tính ch  t:     ,   c   a c   a b   c   b                                                    , a   b      cùng phương   ,   0. a b                           ,   , a b   c          ng ph  ng   .   ,   0. c   a b                        7- M  t s    công th  c c      Di  n tích tam giác   ABC :  1   , 2 ABC S   AB AC                        Di  n tích c  a hình bình hành   ABCD   là   , ABCD S   AB AD                       A   B  D   C

Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian – Trần Văn Tài

MỤC LỤC  CHƯƠNG 3   PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN   1  1.   TỌA ĐỘ VÉC TƠ - TỌA ĐỘ ĐIỂM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   1 A   BÀI TẬP TẠI LỚP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   1 Dạng 1. Tọa độ véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   1 Dạng 2. Tọa độ điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   2 Dạng 3. Hình chiếu, đối xứng qua các trục, các mặt toạ độ . . . . . . . . . . . . . . . . .   3 Dạng 4. Tính diện tích và thể tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   4 B   BÀI TẬP TỰ LUYỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   4 2.   PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   7 A   BÀI TẬP TẠI LỚP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   7 Dạng 1. Xác định tâm, bán kính của mặt cầu cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   7 Dạng 2. Mặt cầu dạng khai triển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   7 Dạng 3. Lập phương trình mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   8 Dạng 4. Vị trí tương đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   9 B   BÀI TẬP TỰ LUYỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   9 3.   PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   12 A   BÀI TẬP TẠI LỚP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   12 Dạng 1. Xác định véc tơ pháp tuyến và điểm thuộc mặt phẳng . . . . . . . . . . . . .   12 Dạng 2. Lập phương trình mặt phẳng khi biết các yếu tố liên quan . . . . . . . . . .   12 Dạng 3. Phương trình theo đoạn chắn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   14 Dạng 4. Khoảng cách và góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   15 Dạng 5. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   15 Dạng 6. Vị trí tương đối của mặt phẳng với mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   16 B   BÀI TẬP TỰ LUYỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   17 4.   PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   20 A   BÀI TẬP TẠI LỚP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   20 Dạng 1. Xác định điểm thuộc và véc tơ chỉ phương của đường thẳng . . . . . . . .   20 Dạng 2. Viết phương trình đường thẳng khi biết vài yếu tố liên quan . . . . . . . .   20 Dạng 3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   22 Dạng 4. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   22 Dạng 5. Góc và khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   23 Dạng 6. Hình chiếu của điểm   M   lên mặt phẳng   ( P )   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   24 Dạng 7. Hình chiếu của điểm lên đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   24 B   BÀI TẬP TỰ LUYỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   25     GV: Phùng V. Hoàng Em   Trang i

Bài tập trắc nghiệm phương pháp tọa độ trong không gian – Phùng Hoàng Em

Chuyên đề: MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIAN OXYZ   Luyện thi Đại Học 2017  Giáo viên:   PHẠM VĂN LONG( TP.Cần Thơ )... 0913.518.110 ...   CLB Giáo viên trẻ TP Huế   1 R I   B A  Giáo viên:   PHẠM VĂN LONG  Lớp Toán thầy Long_Thành phố Cần Thơ   Số điện thoại:   0913.518.110  CHUYÊN ĐỀ   :   MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIAN OXYZ  I-   LÝ THUYẾT :  1/ Định nghĩa  2/   C{c dạng phƣơng trình mặt cầu  Dạng 1 :   Phƣơng trình chính tắc  Mặt cầu (S) có tâm     ; ; I a b c   , bán kính 0 R      .                        2   2   2   2  : S   x   a   y   b   z   c   R                  Dạng 2 :   Phƣơng trình tổng qu{t 2   2   2  ( ) :   2   2   2   0 S   x   y   z   ax   by   cz   d                     (2)     mặt cầu: 2   2   2   0 a   b   c   d                 S   có tâm     ; ; I a b c   .       S   có bán kính: 2   2   2  R   a   b   c   d             .  3/ Vị trí tƣơng đối giữa mặt cầu v| mặt phẳng  Cho mặt cầu     ; S I R   và mặt phẳng     P   . Gọi   H   là hình chiếu vuông góc của   I   lên     P d   IH       là  khoảng cách từ   I        P   . Khi đó :  + Nếu d   R    :   Mặt cầu và mặt  phẳng không có điểm chung.  + Nếu d   R    : Mặt phẳng tiếp xúc  mặt   cầu. Khi đó   ( P )   là mặt phẳng  tiếp diện   của mặt cầu và   H   là  + Nếu d   R    :   Mặt phẳng   ( P )  cắt mặt cầu theo thiết diện là     có tâm   I'   và bán  Cho điể m   I   cố định và một số thực dương   R . Tập hợp tất cả  những điểm   M   trong không gian cách   I   một khoảng   R     mặt cầu tâm   I,   bán kính   R.  Kí hiệu:     ; S I R           ;   / S I R   M   IM   R       Chuyên đề: MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIAN OXYZ   Luyện thi Đại Học 2017  Giáo viên:   PHẠM VĂN LONG( TP.Cần Thơ )... 0913.518.110 ...   CLB Giáo viên trẻ TP Huế   2  tiếp điểm.   kính 2   2  r   R   IH     P  M 2  M 1  H  I R R  I  H P d  r   I'    R  I  Lưu ý:   Khi mặt phẳng     P        P      mặt phẳng kính   và thiết diện lúc đó được gọi là      có diện tích lớn nhất .  4/ Vị trí tƣơng đối giữa mặt cầu v| đƣờng thẳng  Cho mặt cầu     ; S I R   và đường thẳng    . Gọi   H   là hình chiếu của   I   lên    . Khi đó :  + IH   R    :    không cắt mặt  cầu.  + IH   R    :    ti   cầu.    là   tiếp tuyến   của (S) và   H  là   tiếp điểm.  + IH   R    :    cắt mặt cầu tại  hai điểm phân biệt. R  I    H H    I  R H   B  A  I  R    *   Lƣu ý:   Trong trường hợp    cắt     S   tại 2 điểm A, B thì bán kính R của (S) được tính như sau:  + Xác định:     ;   . d I   IH   + Lúc đó: 2 2   2   2  2  AB R   IH   AH   IH                         5/ Đƣờng tròn trong không gian Oxyz  * Đường tròn     C   trong không gian   Oxyz , được xem là giao tuyến của     S   và mặt phẳng     P   .       2   2   2  :   2   2   2   0 S   x   y   z   ax   by   cz   d                          :   0 P   Ax   By   Cz   D            *   Xác định tâm   I’   và bán kính   r   của (C).  + Tâm     ' I   d         .  Trong đó d   là đường thẳng đi qua I   và vuông góc với mp     P d  r   I'    R  I  P  P

Chuyên đề mặt cầu trong không gian Oxyz – Phạm Văn Long

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Am sterdam  Chương III - Bài 2.   Phương Trình Mặt Phẳng  51  Lớp Toán Thầy  Diệp Tuân  Tel:   0935.660.880  A.   LÍ THUYẾT GIÁO KHOA.  I. VÉCTƠ PHÁP TUYẾN :  1. Định nghĩa:  Cho mặt phẳng         . Véc tơ 0 n      gọi là véc tơ pháp tuyến  (VTPT) của     mp     nếu giá của n   vuông góc với         ,  K      n      .  2. Chú ý:  Nếu n   là VTPT của         thì .   (   0) k n   k      cũng là VTPT của         . Vậy     mp     có vô số VTPT.  Nếu hai véc tơ , a b   (không cùng phương) có giá song song (hoặc nằm trên)     mp     thì , n   a b          là một VTPT của     mp     .  Nếu ba điểm ,   , A B C   phân biệt không thẳng hàng thì  véc tơ , n   AB AC           là một VTPT của     mp ABC   .  II. Phương trình tổng quát của mặt phẳng :  1.   Phương trình tổng quát.  Cho     mp          0   0   0 ;   ; M   x   y   z   , có     ;   ; n   A B C    là một VTPT .  Khi đó phương trình tổng quát của   (  )   có dạng:                 0   0   0   0 A x   x   B y   y   C z   z                   .  Nếu       :   0 Ax   By   Cz   D                 thì     ;   ; n   A B C    là một VTPT của   (  ) .  Nếu                 ;0;0 ,   0; ;0 ,   0;0; A a   B   b   C   c   ; 0 abc      thì phương  trình của     ABC   có dạng: 1  x   y   z a   b   c           và được gọi là  phương trình theo đoạn chắn của   (  ) .   Ví d    1.   L  p phương trình m  t ph  ng     P   bi  t:  a) .     P                    1;2;3 ,   4;   2;   1 ,   3;   1;2 A   B   C          ;  b).     P   là m  t ph  ng trung tr  c đo  n AC   ( V  i , A C      câu 1);  c).     P              0;0;1 ,   0;2;0 M   N   và song song v  i AB   ;  d).     P     u c  a A   lên các tr  c t  a đ  .  Lời   giải  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ............... z  x  y  (  )  n  H  M 0  O C  B  P  n P    A C   0;0;c (   )  A   a;0;0 (   )  B   0;b;0 (   )  z  y  x  O  B À   I   2 .   PHƯƠNG TRÌNH M  T PH  NGTrung Tâm Luyện Thi Đại Học Amste rdam  Chương III - Bài 2.   Phương Trình Mặt Phẳng  52  Lớp Toán Thầy  Diệp Tuân  Tel: 0935.660.880  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ...............  III. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng :  Cho hai       :   0 mp P   Ax   By   Cz   D             và       :   '   '   '   '   0 Q   A x   B y   C z   D               P  cắt     Q :   :   ' :   ' :   ' A B C   A   B   C       .           / /   '   '   '   '  A   B   C   D P   Q   A   B   C   D                        '   '   '   '  A   B   C   D P   Q   A   B   C   D                           '   '   '   0 P   Q   AA   BB   CC               .     Ví d    2.   Xét v    trí tương đ  i c  a m  i c  p m  t ph  ng sau   cho b  i các phương trình sau.  a). 2   4   0 x   y   z             và 10   10   20   40   0. x   y   z            b). 3   2   3   5   0 x   y   z             và 9   6   9   5   0. x   y   z            c). 1   0 x   y   z             và 2   2   2   2   0. x   y   z            d) . 2   3   0 x   y   z             và 2   4   2   0. x   y   z            Lời   giải  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ...............

Bài toán phương trình mặt phẳng – Diệp Tuân

Phương trình tổng quát của đường thẳng  Nguyễn Tăng Vũ a)  (Dated: Ngày 11 tháng 4 năm 2020)  I.   PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG     Vectơ     n   6   =      0   có giá vuông góc với đường thẳng      gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng    .  Tính chất 1.   Ta có các tính chất sau: (a) Các vectơ pháp tuyến của cùng một đường thẳng thì cùng phương. (b) Hai đường thẳng song song thì vectơ phát tuyến cùng phương. (c) Hai đường thẳng vuông góc thì vectơ pháp tuyến vuông góc.     Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm   I ( x  ;   y  ) , vectơ    n   . Đường thẳng qua   I   nhận     n   = ( a ;   b )   là vectơ pháp tuyến có phương trình:  a ( x      x  ) +   b ( y      y  ) = 0     Trong mặt phằng tọa, mọi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng  ax   +   by   +   c   = 0  với   a 2   +   b 2   6   = 0 .  Trong đó     n   = ( a ;   b )   là vectơ pháp tuyến của đường thẳng.     (Phương trình đoạn chắn) Phương trình đường thẳng qua điểm   A ( a ; 0)   và   B (0;   b )   ( a, b   6   = 0 ) là  x a   +   y b   = 1     Xét đường thẳng      y   =   kx   +   m   cắt   Ox  tại   M   . Tia   M t   phía trên trục hoành. Gọi      là góc tạo bởi tia  M t   và tia   Ox . Khi đó   tan            và  k   = tan    .  Ví dụ I.1  Cho đường thẳng   a   : 3 x   + 4 y   + 1 = 0 . (a) Tìm một vectơ pháp tuyến của   a . (b) Trong   các      sau,      nào   thuộc   a :  A (  1; 0) , B (1;    1) , C (0 ,   1) . (c) Tìm điểm thuộc   a   mà hoành độ bằng hai lần tung độ. (d) Điểm   M   (3; 2)   có thuộc   a   không? Nếu   M   không thuộc   a , hãy viết phương trình đường thẳng qua  M   song song với   a .  a) www.geosiro.com  Lời giải  (a) Một vectơ pháp tuyến của   ( a )   là :     n   = (3; 4) . (b) Thay tọa độ điểm   A, B, C   vào đường thẳng   ( a )  ta có:    A :   3 . (  1) + 4 . 0 + 1 =    2   6   = 0   nên   A   không thuộc   ( a ) .    B   :   3 . 1 + 4 . (  1) + 1 = 0   nên   B   thuộc   ( a ) .    C :   3 . 0+4 . 1+1 = 5   6   = 0   nên   C   không thuộc  ( a ) . (c) Gọi   D   là điểm thuộc   ( a )   mà hoành độ bằng hai lần tung độ. Khi đó ta có:   x D   = 2 y D   . Thay tọa    D   vào ta có:  3 y D   + 4 y D   + 1 = 0      7 y D   + 1 = 0      y D   =    1 7  Với   y D   =    1 7      x D   =    2 7  Vậy tọa độ điểm   D   là   D (    2 7 ;    1 7 )  (d) Thay tọa độ điểm   M   vào phương trình đường thẳng   ( a )   ta có:   3 . 3 + 4 . 2 + 1 = 18   6   = 0   nên   M  không thuộc đường thẳng   a  Gọi   ( b )   là đường thẳng đi qua   M   và song song với   ( a )  Ta có:     n b   =     n a   = (3; 4)  Phương trình đường thẳng   ( b )   là:  3( x      3) + 4( y      2) = 0      3 x   + 4 y    17 = 0  Ví dụ I.2  Cho đường thẳng   ( d ) :   ax   + 2 y   +   c   = 0 . (a) Tìm   a   biết vectơ pháp tuyến của   d   cùng phương với     n   = (2; 1) . (b) Tìm   c   biết đường thẳng qua điểm   M   (  1; 5) .  Lời giải  (a) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng   ( d )   là:    n d   = ( a ; 2)  Do vectơ pháp tuyến của   ( d )   cùng phương với    n   = (2; 1)   nên ta có:  a  2 = 2 1      a   = 4  (b) Điểm   M   thuộc vào đường thẳng   ( d )   nên thay tọa độ điểm   M   vào phương trình đường thẳng  ( d )   ta có:  4 . (  1) + 2 . 5 +   c   = 0      c   =    6  Ví dụ I.3  Cho tam giác   ABC   có   A (  1; 1) , B (2 ,    1) , C (0 ,   4) . (a) Viết phương trình đường cao   AH .2 (b) Viết phương trình đường trung trực của   BC . (c) Viết phương trình đường thẳng   AB .  Lời giải  (a) Ta có:       BC   = (  2 ,   5)  Mà   BC      AH   nên      n AH   =       BC   = (  2; 5)     AH      A   và nhận       BC  làm vectơ pháp tuyến. Phương trình đường thẳng   AH   là:   2( x   + 1) + 5( y      1) = 0    2 x   + 5 y      7 = 0     2 x      5 y   + 7 = 0  (b) Gọi   I   là trung điểm của   B, C . Khi đó tọa độ    I   là:     x I   =   x B   +   x C  2  y I   =   y B   +   y C  2    {   x I   = 1  y I   = 3 2     BC   là đường thẳng đi qua  I   nhận       BC   làm vectơ pháp tuyến. Phương trình    BC   là:   2( x      1) + 5( y      3 2 ) = 0   2 x   + 5 y      11 2   = 0      4 x      10 y   + 11 = 0  (c) Ta có:       AB   = (3 ,    2)   khi đó ta có:      n AB   = (2; 3) . Phương trình đường thẳng   AB   là:  2( x   + 1) + 3( y      1) = 0      2 x   + 3 y      1 = 0  II.   VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG  Tính chất 2.   Cho hai đường thẳng    1   :   a 1 x   +   b 1 y   +   c 1   = 0; ∆ :   a 2 x   +   b 2 y   +   c 2   = 0 . Khi đó      1 ,    2   cắt nhau      a 1  a 2  6   =   b 1  b 2  ; Khi đó tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình  {   a 1 x   +   b 1 y   +   c 1   = 0  a 2 x   +   b 2 y   +   c 2   = 0      1 ||  2      a 1  a 2  =   b 1  b 2  6   =   c 1  c 2      1       2      a 1  a 2  =   b 1  b 2  =   c 1  c 2  Ví dụ II.1  Cho đường thẳng   a   : 2 x      3 y   + 1 = 0   và điểm   A (1; 2) . (a) Viết phương trình đường thẳng qua   A   song song với   a . (b) Viết phương trình đường thẳng   b   qua   A   vuông góc với   a . Tìm tọa độ giao điểm của   a   và   b .  Lời giải  (a) Gọi   ( d )   là đường thẳng đi qua   A   và song song với   a .  Khi đó:      d   =     a   = (2;    3)  Phương trình đường thẳng   ( d ) :  2( x      1)      3( y      2) = 0      2 x      3 y   + 4 = 0  (b) Đường thẳng   ( b )   vuông góc với đường thẳng   ( a )  nên      b   = (3; 2) . Vậy phương trình đường thẳng  ( b )   là:  3( x      1) + 2( y      2) = 0      3 x   + 2 y      7 = 0  Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình:  {   2 x      3 y   + 1 = 0 3 x   + 2 y      7 = 0           x   = 19 13  y   = 17 13  . Vậy tọa độ giao điểm là:   ( 19 13 ; 17 13 ) .  III.   BÀI TẬP  1.   Cho tam giác   ABC   có   A (1; 2) , B (  1;    2)   và   C (  1; 3) . a) Viết phương trình tổng quát của đường cao hạ từ   A  (Đ/s:   y   = 2 ) b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng   BC  (Đ/s:   x   =    1 ) c) Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB. (Đ/s:   x   + 2 y   = 0 )  2.   Cho tam giác   A (  1; 3) , B (1; 5)   và   C (3;    1) . a) Viết phương trình đường trung trực của   AB   và   BC . (Đ/s:   AB   :   x   +   y      1 = 0 , BC   :   x      3 y   + 4 = 0 ) b) Tìm   tọa      tâm      tròn   ngoại   tiếp   tam   giác  ABC .(Đ/s: Tâm đường tròn ngoại tiếp   (    1 4 ; 5 4 ) )  3.   Cho đường thẳng   d 1   : 3 x  2 y    1 = 0   và   d 2   :   x + y    2 = 0 . a) Chứng minh   A (0; 2)   thuộc   d 2   và không thuộc   d 1 . (Đ/s: Thay tọa độ điểm   A   vào phương trình đường thẳng   d 2   và   d 1 :  3 . 0      2 . 2      1 =    5   6   = 0      A   không thuộc vào đường thẳng   d 1  0 + 2      2 = 0      A   thuộc vào đường thẳng   d 2 ) b) Chứng minh   d 1   và   d 2   cắt nhau. Tìm tọa độ giao điểm của   d 1   và   d 2 . (Đ/s:   3 1   6   =    2 1   nên hai đường thẳng cắt nhau. Tọa độ giao điểm là:   (1; 1) ) c) Viết phương trình đường thẳng qua   A   và vuông góc với  d 2 . (Đ/s:   x      y   + 2 = 0 ) d) Viết phương trình đường thẳng qua   A   và song song với  d 1 . (Đ/s:   3 x      2 y   + 4 = 0 )

Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian – Nguyễn Tăng Vũ

Trang 1/22  CHỦ ĐỀ 1. TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN  A.   LÝ THUYẾT  1. Hệ trục tọa độ trong không gian  Trong không gian, xét ba trục tọa độ   ,   , Ox Oy Oz   vuông góc với nhau từng đôi một và chung một    ,   , i   j k        là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục   ,   , Ox Oy Oz . Hệ ba trục như vậy gọi là   hệ trục tọa độ vuông góc   trong không gian.  Chú ý :   2   2   2 1 i   j   k =   =   =           và   .   .   .   0 i j   i k   k j =   =   =           .  2. Tọa độ của vectơ  a) Định nghĩa:   (   ) ;   ; u   x   y   z   u   xi   y j   zk =      =   +   +                b) Tính chất:   Cho   1   2   3   1   2   3 (   ;   ;   ),   (   ;   ;   ), a   a   a   a   b   b b   b   k =   =                1   1   2   2   3   3 (   ;   ;   ) a   b   a   b   a   b   a   b    =                 1   2   3 (   ;   ;   ) ka   ka   ka   ka =      1   1 2   2 3   3  a   b a   b   a   b a   b  =   =      =     =           0   (0;0;0),   (1;0;0),   (0;1;0),   (0;0;1) i   j   k =   =   =   =              a     cùng phương   (   0) b b                 (   ) a   kb   k =            1   1 3 1   2 2   2   1   2   3 1   2   3 3   3  ,   (   ,   ,   0)  a   kb   a a   a a   kb   b   b   b b   b   b a   kb  =      =      =   =        =      1   1   2   2   3   3 .   .   .   . a b   a b   a b   a b =   +   +         1   1   2   2   3   3   0 a   b   a b   a b   a b       +   +   =          2   2   2   2 1   2   3 a   a   a   a =   +   +        2   2   2 1   2   2 a   a   a   a =   +   +       1   1   2   2   3   3 2   2   2   2   2   2 1   2   3   1   2   3  . cos( ,   )   .   .  a b   a b   a b a b a b   a   b   a   a   a   b   b   b  +   + =   =   +   +   +   +            (với   ,   0 a b            )  3. Tọa độ của điểm  a) Định nghĩa:   ( ;   ;   )   .   .   . M x   y   z   OM   x i   y j   z k    =   +   +               (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)  Chú ý:     (   )   (   )   (   ) 0;   0;   0 M   Oxy   z   M   Oyz   x   M   Oxz   y       =         =         =     0;   0;   0 M   Ox   y   z   M   Oy   x   z   M   Oz   x   y       =   =         =   =         =   =   .  b) Tính chất:   Cho   (   ;   ;   ),   (   ;   ;   ) A   A   A   B   B   B A x   y   z   B x   y   z     (   ;   ;   ) B   A   B   A   B   A AB   x   x   y   y   z   z =                 2   2   2 (   )   (   )   (   ) B   A   B   A   B   A AB   x   x   y   y   z   z =      +      +        Toạ độ trung điểm   M của đoạn thẳng   AB   :   ;   ; 2   2   2  A   B   A   B   A   B x   x   y   y   z   z M   +   +   +                 Toạ độ trọng tâm   G của tam giác   ABC   : ;   ; 3   3   3  A   B   C   A   B   C   A   B   C x   x   x   y   y   y   z   z   z G   +   +   +   +   +   +                 Toạ độ trọng tâm   G của tứ diện   ABCD   : ;   ; 4   4   4  A   B   C   D   A   B   C   D   A   B   C   C x   x   x   x   y   y   y   y   z   z   z   z G   +   +   +   +   +   +   +   +   +              4. Tích có hướng của hai vectơ  a) Định nghĩa:   Trong không gian   Oxyz   cho hai vectơ   1   2   3 (   ;   ;   ) a   a   a   a =     ,   1   2   3 (   ;   ;   ) b   b b   b =     . Tích có hướng của hai vectơ   a     và   , b     kí hiệu là   , a b             , được xác định bởiTrang 2/22  (   ) 2   3   3   1   1   2 2   3   3   2   3   1   1   3   1   2   2   1 2   3   3   1   1   2 ,   ;   ;   ;   ;  a   a   a   a   a   a a b   a b   a b   a b   a b   a b   a b b   b   b   b   b   b            =                            Chú ý:   Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.  b) Tính chất:     [ ,   ]   ;   [ ,   ] a b   a   a b   b                          ,   , a b   b a           = −                       ,   ;   ,   ;   , i   j   k   j k   i   k i   j                 =   =                                        (   ) [ ,   ]   .   .sin   , a b   a   b   a b =               ( Chương trình nâng cao )     , a b        cùng phương   [ ,   ]   0 a b    =           (chứng minh 3 điểm thẳng hàng)  c) Ứng dụng của tích có hướng: (Chương trình nâng cao)        , a b        và   c           [ ,   ].   0 a b c   =             Diện tích hình bình hành   ABCD :   , ABCD S   AB AD     =            Diện tích tam giác   ABC :   1   , 2  ABC S   AB   AC        =                 Thể tích khối hộp   ABCDA B C D             .   '   '   '   '   [   ,   ]. ABCD A B C D V   AB   AD   AA  =               Thể tích tứ diện   ABCD   :   1   [   ,   ].  6  ABCD V   AB   AC   AD =            Chú ý:     Tích vô hướng   của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính góc giữa hai đường thẳng.     Tích có hướng   của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng      không đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương.  [   ] [   ]  0 0 0  a   b   a b a vaø b cuøng phöông   a b a b c ñoàng phaúng   a b   c  . , ,   ,   ,   .        =    =    =                        5. Một vài thao tác sử dụng máy tính bỏ túi (Casio Fx570 Es Plus, Casio Fx570 Vn Plus, Vinacal 570 Es Plus )  Trong không gian   Oxyz   cho bốn điểm   (   )   (   )   (   )   (   ) ; y ;   ,   ;   ; z   ,   ;   ; z   ,   ;   ; z A   A   A   B   B   B   C   C   C   D   D   D A x   z   B x   y   C   x   y   D x   y  w 8 1 1 (nhập vectơ   AB      )  q 5 2 2 2 (nhập vectơ   AC     )  q 5 2 3 1 (nhập vectơ   AD     )  C q53q54= (tính   , AB AC              )  C q53q54q57q55= (tính [   ,   ]. AB   AC   AD            )  Cqc(Abs) q53q54q57q55= (tính [   ,   ]. AB   AC   AD            )  C1a6qc(Abs) q53q54q57q55=  (tính   1   [   ,   ].  6  ABCD V   AB   AC   AD =          

Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tọa độ trong không gian

BÀI 3. PH  NG TRÌNH    NG TH  NG A. LÍ THUY  T TR  NG TÂM 1. Ph  ng trình    ng th  ng Vect    ch    ph  ng c  a    ng th  ng  Cho    ng th  ng    . Vect    0        u   g  i là vect    ch    ph  ng c  a   ng th  ng      n  u giá c  a nó song song ho  c trùng v  i    . Cho    ng th  ng       i qua       0   0   0 ;   ; M   x   y   z   và có vect    ch   ph  ng là       ; ;     u   a b c   .  Chú ý:  + N  u    u   là vect    ch    ph  ng c  a     thì       .   0     k u k   c  ng   là   vect    ch   ph  ng c  a    . +   N  u    ng th  ng       i qua hai    i  m A, B thì       A B   là m  t vect    ch    ph  ng.  Ph  ng trình tham s    c  a    ng th  ng  Ph  ng trình tham s    c  a    ng th  ng      có d  ng 0 0 0 ,   (1)                             x   x   at y   y   bt   t z   z   ct Cho    ng th  ng      có ph  ng trình (1) thì  +       ; ;     u   a b c   là   m  t   vect    ch   ph  ng c  a    . +   V  i    i  m       M   thì      0   0   0 ;   ;        M   x   at y   bt z   ct   trong     là m  t giá tr    c    th    t  ng    ng v  i t  ng    i  m M.  Ph  ng trình chính t  c  N  u   , ,   0  a b c   thì ph  ng trình chính t  c c  a    ng th  ng      có d  ng      0   0   0   2              x   x   y   y   z   z a   b   c  2. Kho  ng cách Kho  ng cách t     i  m    n    ng th  ng  Cho    ng th  ng       i qua   0 M , có vect    ch    ph  ng     u   và    i  m       M   . Khi          tính kho  ng cách t    M    n      ta có các cách sau:  Cách 1:   S    d  ng công th  c:         0   , ,                M M   u d M d   u   .  Cách 2:  + L  p ph  ng trình m  t ph  ng       P    i qua   M vuông góc v  i    . + Tìm giao    i  m   H   c  a       P   v  i    . + Khi          dài   M H   là kho  ng cách c  n tìm.Cách 3:  + G  i    N   d   , suy ra t  a      N   theo tham s    t   . + Tính   2  M N   theo   t   . + Tìm giá tr    nh    nh  t c  a tam th  c b  c hai.  Kho  ng cách gi  a hai    ng th  ng chéo nhau  Cho hai    ng th  ng chéo nhau       i qua   0 M   có vect    ch    ph  ng     u   và        i qua   0   M   có vect   ch    ph  ng       u   . Khi      ng cách gi  a hai    ng th  ng           c tính theo các cách sau:  Cách 1:   S    d  ng công th  c:         0   0 ,   . ,   ,                                        u u   M M d   u u   .  Cách 2:   Tìm    o  n vuông góc chung   M N   . Khi          dài   M N   là kho  ng cách c  n tìm.  Cách 3:   L  p ph  ng trình m  t ph  ng       P   ch  a qua      và song song v  i       . Khi      ng cách c  n tìm là kho  ng cách t    m  t    i  m b  t kì trên        n       P   .  3. V    trí t  ng    i V    trí t  ng    i gi  a hai    ng th  ng  Trong   không   gian   Oxyz ,   hai    ng   th  ng 0   0   0 1   :               x   x   y   y   z   z d   a   b   c    i   qua       1   0   0   0 ;   ; M   x   y   z   có vect    ch    ph  ng       1   ; ;     u   a b c   , và 0   0   0 2   :                             x   x   y   y   z   z d   a   b   c    i   qua       2   0   0   0 ;   ; M   x   y   z   có vect    ch    ph  ng       2   ;   ;             u   a b c   .     xét v    trí t  ng    i c  a   1 d   và   2 d   , ta s    d  ng ph  ng pháp sau:  Ph  ng pháp hình h  c +   1 d   trùng   2 d  3 1   2 1   2 1   2   3 1   2 1   2 / /                                         a a   a u   u   b   b   b M   d   M   d  +   1   2 1   2 1   1   2 ,   0 / / ,   0  u   u d   d u   M M                               ho  c 3 1   2 1   2 1   2   3 1   2 1   2 ||                                      a a   a u   u   b   b   b M   d   M   d Ta có th    dùng   ph  ng pháp    i s       xét v   trí t  ng    i: D  a vào s    nghi  m c  a h   ph  ng trình các    ng th  ng. Chú ý tr  ng h  p vô nghi  m + N  u   1   2 ;      u   u   cùng ph  ng thì   1   2 // d   d . + N  u   1   2 ;      u   u   không cùng ph  ng thì   1   2 ; d   d chéo nhau.

Các dạng bài tập VDC phương trình đường thẳng

CH  NG 3: PH  NG PHÁP T  A      TRONG KHÔNG GIAN Oxyz BÀI 1: H    T  A      TRONG KHÔNG GIAN A. LÍ THUY  T TR  NG TÂM 1. H    t  a      trong không gian  H    tr  c t  a       -các vuông góc trong không gian g  m ba tr  c x'Ox, y'Oy, z'Oz vuông góc v  i nhau t  ng      t. G  i   ,   , i j k     l  n l  t là các vect     n v    trên các tr  c Ox, Oy, Oz.   i  m O    c g  i là g  c t  a    . Các m  t ph  ng (Oxy), (Oyz), (Ozx) là các m  t ph  ng t  a    . Không gian g  n v  i h    t  a      Oxyz    c g  i là không gian Oxyz.  2. T  a      c  a vect   Trong không gian Oxyz, cho vect    u     . Khi          u   x; y; z   u   xi   y j   zk.                             Chú ý:  1)       0   0;0;0 .     2)  1   1 2   2 3   3  a   b a   b   a   b a   b                        3)   a     cùng ph  ng         1   1 2   2 3   3 a   kb a   k b b   0   b a   kb                           Bi  u th  c t  a      c  a các phép toán vect   Cho hai vect              1   2   3   1   2   3 ;   ;   ,   ;   ; a   a   a   a   b   b b   b            và k là s    th  c tùy ý. Khi             1   1   2   2   3   3 ;   ;   . a   b   a   b   a   b   a   b                           1   1   2   2   3   3 ;   ;   . a   b   a   b   a   b   a   b                           1   2   3 .   ;   ; k a   ka   ka   ka            1   1   2   2   3   3 . .   .   .   . a b   a b   a b   a b            ng d  ng c  a tích vô h  ng:     1   1   2   2   3   3 a .b   a a   b   a.b   0   .b   a .b   0                              2   2   2   2 1   2   3 a   a.a   a   a   a .                  2   2   2   2 1   2   3 a   a   a   a   a .                          1   1   2   2 2   2   2   2   2   2 1   2 3   3 3   1   2   3 a b   a b   a a.b cos a; b   a . b   a   a   .   b   b b a   b                            V  i a   0, b   0.              3. T  a      c  a m  t    i  m  Trong không gian Oxyz, cho    i  m M tùy ý. Khi       M x; y; z   OM (   xi   y j   zk )   .                      Tính ch  t     N  u             A   A   A   B   B   B A x ; y ; y   và B x ; y ; y   thì      B   A   B   A   C   A AB x   x ; y   y ; z   z   .            Khi                        2 B   A   B 2   2 B A   A AB   AB   x   x   y   y   z   z   .                       T  a      trung    i  m I c  a    o  n th  ng AB là A   B   A   B   A   B x   x   y   y   z   z ;   ;   . I   2   2   2                        T  a      tr  ng tâm G c  a tam giác ABC là C   C A   B   A   A   C B   B x   x   y   y   z   z ;   ;   . 3   3 x   y 3 z G                             T  a      tr  ng tâm G c  a t    di  n ABCD là A   B   C   D   A   B   C   D   A   B   C   D x   x   x   x   y   y   y   y   z   z   z   z G   ;   ; 4   4   4                                        4. Tích có h  ng c  a hai vect   nh ngh  a  Trong không gian Oxyz, cho hai vect        1   2   3 b   b ; b ; b   .      Tích có h  ng c  a hai vect    a và b        là m  t vect    vuông góc v  i c    hai vect    a và b        , kí hi  u là   a , b                và    c xác    nh nh    sau: 2   3   3   1   1   2 2   3   3   1   1   2 a   a   a   a   a   a a , b   ;   ; b   b   b   b   b   b                              2   3   3   2   3   1   1   3   1   2   2   1 a   a b ;a b   a b b   a   b ;   b   a   .            Tính ch  t     a     cùng ph  ng v  i   a b   0. b   ,                     a , b             vuông góc v  i c    hai vect    a và b        .  Chú ý:   Trong h    t  a      Oxyz, cho    i  m M ( x; y; z ) ta có các kh  ng    nh sau:         0;   0 . 0; M   O   M            M   Oxy   z   0          , t  c là       M x; y;0 .         M   Oyz   x   0          , t  c là       M 0; y; z .         M   Oxz   y   0          , t  c là       M x;0; z .     M   Ox   y   z   0             , t  c là       M x; 0; 0 .     M   Oy   x   z   0             , t  c là       M 0; y;0 .     M   Oz   x   y   0             , t  c là       M 0; 0; z .

Các dạng bài tập VDC phương pháp tọa độ trong không gian

Tư duy mở trắc nghiệm toán lý Sưu tầm và tổng hợp  (  )  600 CÂU VẬN DỤNG OXYZ Môn: Toán  Thời gian làm bài   phút (600 câu trắc nghiệm)  Họ và tên thí sinh:   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   Mã đề thi 899 Câu 1.   Trong không gian   Oxyz,   cho hình lăng trụ tam giác đều   ABC.A 1 B 1 C 1   có   A 1  (  3;    1; 1 )   ,  hai đỉnh   B, C   thuộc trục   Oz   và   AA 1   = 1 ,   ( C   không trùng với   O ). Biết     u   = ( a ;   b ; 2)   là một véc-tơ chỉ phương của đường thẳng   A 1 C.   Tính   T   =   a 2   +   b 2 .  A   5 .   B   4 .   C   16 .   D   9 .  Câu 2.   Trong không gian   Oxyz , cho điểm   A (1; 2; 3) . Tìm tọa độ điểm   A 1   là hình chiếu vuông góc của   A   lên mặt phẳng   ( Oyz ) .  A   A 1 (1; 2; 0) .   B   A 1 (0; 2; 3) .   C   A 1 (1; 0; 0) .   D   A 1 (1; 0; 3) .  Câu 3.   Trong không gian với hệ trục tọa độ   Oxyz   cho các điểm   A (2; 3; 3) ,   B (  2;    1; 1) . Gọi   ( S )  và   ( S  )   là hai mặt cầu thay đổi nhưng luôn tiếp xúc với đường thẳng   AB   lần lượt tại các tiếp    A, B      M   ( a ;   b ;   c ) . Tính giá trị của   a   +   b   +   c   biết rằng khoảng cách từ   M   tới mặt phẳng   ( P   ) :   x   + 2 y      2 z   + 2018 = 0     A   a   +   b   +   c   = 5 .   B   a   +   b   +   c   = 3 .   C   a   +   b   +   c   = 2 .   D   a   +   b   +   c   = 4 .  Câu 4.   Trong không gian với hệ tọa độ   Oxyz , cho đường thẳng   d   và mặt cầu   ( S )   lần lượt có phương trình là   d   :   x   + 3   1   =   y  2 =   z   + 1 2   ;   ( S ) :   x 2   +   y 2   +   z 2      2 x   + 4 y   + 2 z      18 = 0 . Biết   d   cắt   ( S )  tại hai điểm   M, N   thì độ dài đoạn   M N   là  A   M N   = 16 3   .   B   M N   =   30 3   .   C   M N   = 20 3   .   D   M N   = 8 .  Câu 5.   Trong không gian với hệ tọa độ   Oxyz , cho hai điểm   A (  3; 2; 2) ;   B (  5; 3; 7)   và mặt phẳng  ( P   ) :   x   +   y   +   z   = 0 . Điểm   M   ( a ;   b ;   c )   thuộc   ( P   )   sao cho   | 2     M A       M B |   có giá trị nhỏ nhất. Tính  T   = 2 a   +   b      c .  A   T   = 3 .   B   T   =    3 .   C   T   =    1 .   D   T   = 4 .  Câu 6.   Trong không gian với hệ trục tọa độ   Oxyz , cho mặt cầu   ( S ) : ( x  1) 2   +( y    2) 2   +( z   +1) 2   = 25 . Đường thẳng   d   cắt mặt cầu   ( S )   tại hai điểm   A ,   B . Biết tiếp diện của   ( S )   tại   A ,   B   vuông góc. Tính độ dài   AB .  A   AB   = 5 2 .   B   AB   = 5  2 .   C   AB   = 5 .   D   AB   = 5  2 2   .  Câu 7.   Trong không gian với hệ tọa độ   Oxyz , cho mặt phẳng   ( P   ) :   x   + 2 y   +   z      4 = 0   và đường thẳng   d   :   x   + 1 2   =   y  1 =   z   + 2 3   . Phương trình đường thẳng      nằm trong mặt phẳng   ( P   ) , đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng   d   là  A   x      1 5   =   y      1   1   =   z      1   3   .   B   x      1 5   =   y   + 1   1   =   z      1 2   .  C   x      1 5   =   y      1 2   =   z      1 3   .   D   x   + 1 5   =   y   + 3   1   =   z      1 3   .  Câu 8.   Trong không gian   Oxyz , gọi   ( S )   là mặt cầu có tâm   I   thuộc đường thẳng   x  2 =   y  3 =   z      1 4  và đi qua điểm   M   (0; 3; 9) . Biết điểm   I   có hoành độ là số nguyên và cách đều hai mặt phẳng  x      2 y   + 2 z   + 2 = 0 ,   3 x      2 = 0 . Phương trình của   ( S )   là  A   x 2   +   y 2   + ( z      1) 2   = 73 .   B   ( x      4) 2   + ( y      6) 2   + ( z      9) 2   = 5 .  C   ( x      6) 2   + ( y      9) 2   + ( z      13) 2   = 88 .   D   ( x      6) 2   + ( y      9) 2   + ( z      13) 2   =    88 .  Câu 9.   Trong không gian   Oxyz , cho hai điểm   A   (1; 2; 3) ,   B   (  2;    4; 9) . Điểm   M   thuộc đoạn thẳng   AB   sao cho   M A   = 2 M B . Độ dài đoạn thẳng   OM   là  A    54 .   B   5 .   C    17 .   D   3 . Trang 1/69      Mã đề 899Câu 10.   Trong không gian   Oxyz , cho   A (0; 0;    3) ,   B (2; 0;    1)   và   ( P   ) : 3 x      8 y   + 7 z      1 = 0 . Có bao nhiêu điểm   C   trên mặt phẳng   ( P   )   sao cho   4 ABC     A Vô số.   B   1 .   C   3 .   D   2 .  Câu 11.   Trong không gian với hệ tọa độ   Oxyz , viết phương trình mặt phẳng   ( P   )   song song và cách đều hai đường thẳng   d 1   :   x      2   1   =   y  1 =   z  1   và   d 2   :   x  2 =   y      1   1   =   z      2   1   .  A   ( P   ) : 2 x      2 z   + 1 = 0 .   B   ( P   ) : 2 y      2 z   + 1 = 0 .  C   ( P   ) : 2 y      2 z      1 = 0 .   D   ( P   ) : 2 x      2 y   + 1 = 0 .  Câu 12.   Trong không gian với hệ trục tọa độ   Oxyz   cho hai mặt cầu   ( S 1 ) :   x 2 + y 2 + z 2 +4 x +2 y + z   = 0 ;   ( S 2 ) :   x 2   +   y 2   +   z 2      2 x      y      z   = 0   cắt nhau theo một đường tròn   ( C )   nằm trong mặt phẳng  ( P   ) . Cho các điểm   A   (1; 0; 0)   , B   (0; 2; 0)   , C   (0; 0; 3) . Có bao nhiêu mặt cầu tâm thuộc   ( P   )   và tiếp xúc với cả ba đường thẳng   AB, BC, CA ?  A   2   mặt cầu.   B   3   mặt cầu.   C   1   mặt cầu.   D   4   mặt cầu.  Câu 13.   Trong hệ tọa độ   Oxyz , cho hai điểm   A (  1; 2; 1) , B (1; 2;    3)   và đường thẳng   d   :   x   + 1 2   =  y      5 2   =   z   1   . Tìm véc-tơ chỉ phương     u   của đường thẳng         A   và vuông góc với   d    thời cách   B   một khoảng lớn nhất.  A     u   = (4;    3; 2) .   B     u   = (1; 0; 2) .   C     u   = (2; 2;    1) .   D     u   = (2; 0;    4) .  Câu 14.   Trong không gian   Oxyz , cho tam giác   ABC   có   A (2; 1;    1) ,   B (  2; 3; 1)   và   C (0;    1; 3) . Gọi   d   là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác   ABC   và vuông góc với mặt phẳng   ( ABC ) . Phương trình đường thẳng   d   là  A   x   + 1 1   =   y      1 1   =   z      2 1   .   B   x      1 1   =   y  1 =   z  1   .  C   x   2 =   y      2 1   =   z  1   .   D   x   + 1 1   =   y  1 =   z  1   .  Câu 15.   Trong không gian với hệ tọa độ   Oxyz,   cho tam giác   ABC   với   A (1; 1; 1) ,   B (2; 3; 0)   biết tam giác   ABC   có trực tâm   H (0; 3; 2) .   Tìm tọa độ của điểm   C.  A C (2; 2; 2) .   B   C (1; 2; 1) .   C   C (3; 2; 3) .   D   C (4; 2; 4) .  Câu 16.   Trong không gian   Oxyz , cho đường thẳng   d   :   x      1 1   =   y      2 2   =   z      3 1   và mặt phẳng  (  ) :   x   +   y      z      2 = 0 . Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng   (  ) ,    d ?  A   x      1 3   =   y      1   2   =   z  1   .   B   x   + 2   3   =   y   + 4 2   =   z   + 4   1   .  C   x      5 3   =   y      2   2   =   z      5 1   .   D   x      2 1   =   y      4   2   =   z      4 3   .  Câu 17.   Trong không gian với hệ trục tọa độ   Oxyz , cho hai điểm   A (0; 2;    4) ,   B (  3; 5; 2) . Tìm tọa độ điểm   M   sao cho biểu thức   M A 2   + 2 M B 2     A   M   (  3; 7;    2) .   B   M  (   3 2 ; 7 2;    1  )  .   C   M   (  1; 3;    2) .   D   M   (  2; 4; 0) .  Câu 18.   Trong không gian với hệ trục tọa độ   Oxyz , cho mặt cầu   ( S ) : ( x  1) 2   +( y +1) 2   +( z  2) 2   = 16   và điểm   A (1; 2; 3) . Ba mặt phẳng thay đổi đi qua   A   và đôi một vuông góc với nhau, cắt mặt cầu theo ba đường tròn. Tính tổng diện tích của ba hình tròn tương ứng đó.  A   38  .   B   33  .   C   36  .   D   10  .  Câu 19.   Trong không gian với hệ trục tọa độ   Oxyz , cho ba điểm   A (0;    2;    1) ,   B (  2;    4; 3) ,  C (1; 3;    1)   và mặt phẳng   ( P   ) :   x + y  2 z    3 = 0 . Tìm điểm   M      ( P   )   sao cho         M A   +       M B   + 2     M C       Trang 2/69      Mã đề 899

600 câu vận dụng cao phương pháp tọa độ trong không gian ôn thi THPT môn Toán

 NHÓM WORD – BIÊN SO  N TÀI LI  U   50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020  Trang 130     Phương tr   t c  u d  ng chính t  c: Cho m  t c  u có tâm       ;   ; I   a b c , bán kính   R   . Khi đó phương tr   c c  a m  t c  u là                      2   2   2   2  : S   x   a   y   b   z   c   R                   .     Phương tr   t c  u d  ng khai tri  n là         2   2   2  :   2   2   2   0 S   x   y   z   ax   by   cz   d                      .  Khi đó mặ t c  u có có tâm       ;   ; I   a b c , bán kính       2   2   2   2   2   2   0 R   a   b   c   d   a   b   c   d                         . BÀI T  P M  U  (ĐỀ   MINH H  A BDG   2019-2020)   Trong không   gian v  i h    tr  c t    Oxyz   , cho   m  t c  u:                      2   2   2  :   1   2   1   9 S   x   y   z                   . Tìm t    tâm   I và tính bán kính   R c  a       S .  A.       1; 2;1 I      và   3 R      B.       1;   2;   1 I         và   3 R     C.       1; 2;1 I      và   9 R      D.       1;   2;   1 I         và   9 R     Phân tích hướ ng d  n gi  i  1. D  NG TOÁN:    ng toán s    d  ng tính ch    xác đị nh tâm và bán kính c  a m  t c  u.  2. HƯỚ NG GI  I: B1:   D  a trên   phương tr   t c  u d  ng chính t  c tìm tâm và bán kính c  a m  t c  u.  B2:   M  t c  u                       2   2   2   2  : S   x   a   y   b   z   c   R                   có tâm       ;   ; I   a b c   và bán kính   R .  T       gi  i bài toán c    th    như sau:  L  i gi  i Ch  n B  M  t c  u                       2   2   2  :   1   2   1   9 S   x   y   z                   có tâm       1; 2;1 I      và bán kính   3 R      .  Bài t  ng t  : Câu 14.1:  Trong không gian v  i h    t    Oxyz , cho m  t c                2   2   2  1   3   9 x   y   z                . Tìm t    tâm   I và bán kính   R c  a m  t c   A.       1;3; 0 I      ;   3 R      .   B.       1;   3;0 I      ;   9 R      .   C.       1;   3;0 I      ;   3 R      .   D.       1;3; 0 I      ;   9 R      .  L  i   gi  i  Ch  n C  M  t c         1;   3; 0 I      và bán kính   3 R      .  XÁC ĐỊNH TÂM,   BÁN KÍNH, DI    VÀ   THỂ TÍCH CỦA MẶT CẦU  KI  N TH  C C  N NH  : NHÓM WORD – BIÊN SO  N TÀI LI  U   50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020  Trang 131  Câu 14.2:  Trong không gian v  i h    t    Oxyz , cho m  t c  u       S   :   2   2   2   6   4   8   4   0 x   y   z   x   y   z                      . Tìm t    tâm   I   và tính bán kính   R c  a m  t c  u       S   .  A.       3;   2; 4 I      ,   25 R      .   B.       3; 2;   4 I         ,   5 R      .  C.       3;   2; 4 I      ,   5 R      .   D.       3; 2;   4 I         ,   25 R      .  L  i   gi  i Ch  n   C  M  t c  u       S   có tâm là       3;   2; 4 I      . Bán kính c  a m  t c  u       S   là                 2   2   2  3   2   4   4 R               5    .  Câu 14.3:  Trong không gian   Oxyz , di  n tích c  a m  t c  u       S   :   2   2   2  3   3   3   6   12   18   3   0 x   y   z   x   y   z                     b  ng  A.   20     .   B.   40     .   C.   60     .   D.   100     .  L  i   gi  i Ch  n   C  Ta có   2   2   2   2   2   2  3   3   3   6   12   18   3   0   2   4   6   1   0 x   y   z   x   y   z   x   y   z   x   y   z                                              . M  t c  u       S   có tâm là       1;   2;3 I         . Bán kính c  a m  t c  u       S   là                 2   2   2  1   2   3   1   15 R                     . Di  n tích m  t c  u   2  4   60 V   R            .  Câu 14.4:  Trong   không   gian   v  i   h    tr  c   t       Oxyz ,   cho   m  t   c  u       S   có   phương   tr   2   2   2   2   4   6   5   0 x   y   z   x   y   z                      . Tính di  n tích m  t c  u       S .  A.   42     .   B.   36     .   C.   9     .   D.   12     .  L    gi   Ch  n B  M  t c  u       S   có tâm       1; 2;3 I   và bán kính   2   2   2  1   2   3   5 R               3    . Di  n tích m  t c  u       S   là:   2   2  4   4   3   36 S   R                  .  Câu 14.5:   Trong không gian v  i h    t    Oxyz , cho m  t c  u                 2   2   2  :   1   2   9 S   x   y   z                . M  t c  u      S   có th    tích b  ng  A.   16 V      .   B.   36 V      .   C.   14 V      .   D.   4  36  V      .  L    gi   Ch    B  M  t c  u                 2   2   2  :   1   2   9 S   x   y   z                có tâm là       1;   2; 0    , bán kính   3 R      . Th    tích m  t c  u   3 4   36 3  V   R            .  Bài t    và phát tri  n:

Xác định tâm, bán kính, diện tích và thể tích của mặt cầu

H     12   -   CH    PH     T         OXYZ  Fb:   ThayTrong D gl   -   biên soạn và sưu tầm !   1  M  C L  C  B À   I 1: H    TR  C T  A Đ    OXYZ   ................................ ................................ ................................ ...........  1   D  NG 1: T  A Đ    C  A VECTƠ VÀ CÁC TÍNH CH  T ................................ ................................ ..  2   D  NG 2:   TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM   ................................ ................................ ................................ ............  4   D  NG 2:   TÍCH VÔ HƯ  NG , TÍCH CÓ HƯ  NG C  A HAI VECTƠ      CÁC BÀI TOÁN LIÊN  QUAN  ................................ ................................ ................................ ................................ ........................  7  B À   I 2: PHƯƠNG TRÌ NH M  T C  U  ................................ ................................ ................................ .....  10   DẠNG 1. XÁC ĐỊNH TỌA ĐỘ TÂM   VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU. NHẬN BIẾT PT MẶT CẦU   10   DẠNG 2. LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU KHI BIẾT M    .........  12  BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH M    T PH  NG   ................................ ................................ ...............................  17     D  NG 1:   TÌM MỘT VTPT CỦA MẶT PHẲNG   ................................ ................................ .............  17   D  NG   2 :   VIẾT   PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG  ................................ ................................ ............  19     D  NG   3 :      MẶT PHẲNG   ................................ ................................ ..........................  22  BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯ    NG TH  NG   ................................ ................................ .........................  25   D  NG 1:   TÌM MỘT VTCP CỦA ĐƯỜNG THẲNG   ................................ ................................ ........  25   D  NG   2 :   VIẾT PHƯƠNG TRÌNH   CỦA ĐƯỜNG THẲNG   ................................ ............................  27   D  NG   3 :   TÌM     32  B À   I 5. V    TRÍ TƯƠNG Đ  I T  NG H  P ................................ ................................ ..............................  35     ................................ ................................ ...  35   DẠNG 2. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG ................................ .  37   DẠNG 3.   V    TRÍ TƯƠNG Đ  I   GI  A ĐƯ  NG TH  NG   VÀ ĐƯ  NG TH  NG ...........................  40   DẠNG 4. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG   ................................ .......................  42     DẠNG 5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI MẶT CẦU VÀ ĐƯỜNG THẲ NG   ................................ ................  45  B À   I 6:   KHO  NG CÁCH T  NG H  P   ................................ ................................ ................................ ...  49   DẠNG 1. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐIỂM  ................................ ................................ .................  49   DẠNG 2. KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG, KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT  PHẲNG SONG SONG, KHOẢNG CÁCH GIỮA MỘT ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT  PHẲNG TỚI MẶT PHẲNG.   ................................ ................................ ................................ ..................  51   DẠNG 3.   KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂ M ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG  ................................ ......................  54   D    ................................ .....  5 6H     12   -   CH    PH     T         OXYZ  Fb:   ThayTrong D gl   -   biên soạn và sưu tầm !   2  B À   I   1 :   HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXYZ   D  NG 1 :   T  A       C  A   VE C T     CÁC   TÍNH   C H  T  PH   :   .      nghĩa : (   ) 1   2   3   1   2   3 .   .   .   ;   ; =   +   +      = k a   a   a   a j   a   a i   a   a   .   .   T    chất :   C ho (   )   (   ) 1   2   3   1   2   3 ;   ;   ;   ;   ; =   = a   a   a   a   b   b   b   b   .   1   1 2   2 3   3  =   =      =     =   a   b a   b   a   b a   b   .   (   ) 1   1   2   2   3   3 ;   ;    =          a   b   a   b   a   b   a   b   .   (   ) 1   2   3 ;   ; = ka   ka   ka   ka   ,  k   .   (   )   (   )   (   ) 0   (0;0;0),   1;0;0 ,   0;1;0 ,   0;0;1 =   =   =   = i   j   k   .   a   cùng phương b  (   ) :   0    =    k   a   kb   b   .  (   ) 3 1   2 1   2   3 1   2   3  ,   ,   0 =   =     a a   a   b b   b b   b   b  A.   VÍ DỤ   MINH HỌA:  V     Trong không gian Oxyz   , cho (   ) 1; 2;   3 =    a   ; (   ) 2;2;0 = − b   . Tọa độ v ec tơ 2   3 =    c   a   b   là  A . (   ) 4;   1;   3 =       c   .   B . (   ) 8;   2;   6 =       c   .   C . (   ) 2;1;3 = c   .   D . (   ) 2;4;3 = − c   .  Lời giải  Chọn B  Ta có: (   ) (   )  2   2; 4;   6 3   6;6;0     =        =       a b  S uy ra (   ) 2   3   2   6;4   6;   6   0 =      =   +          c   a   b (   ) 8;   2;   6    =       c  .  V     2 .   Trong không   gian với hệ tọa độ Oxyz   , cho   h ai v ec tơ (   ) 2;   5;3 =    a   , (   ) 0; 2;   1 =    b   . Tọa độ  v ec tơ x   thỏa mãn 2   +   = a   x   b   là  A . (   ) 4; 2;   7       .   B . (   ) 4; 2; 3    .   C . (   ) 4; 12;   7       .   D . (   ) 4; 12;   3       .  Lời giải  Chọn C  Ta c  2   2 +   =      =    a   x   b   x   b   a  Ta có: (   ) (   ) 2   4;   10; 0; 2;   1 6       =     =    a b

Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz – Nguyễn Trọng

1 HƯỚNG TỚI KỲ THI TỐT NGHỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA 2021  MÔN TOÁN  NĂM HỌC 2020-2021  TOÀN CẢNH HÌNH HỌC GIẢI TÍCH  TRONG KHÔNG GIAN  (2017-2020)TOÀN CẢNH HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN TRONG CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG: 2017-2020  Câu 1.   Trong không gian với hệ tọa độ   Oxyz , cho mặt phẳng   ( P ) :   x      2 y   +   z      5   =   0 . Điểm nào dưới đây thuộc   ( P ) ?  A   Q (2;    1; 5) .   B   P (0; 0;    5) .   C   N (  5; 0; 0) .   D   M (1; 1; 6) .  Câu 2.   Trong không gian với hệ tọa độ   Oxyz , véc-tơ nào dưới đây là một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng   ( Oxy ) ?  A   #»  i   =   (1; 0; 0) .   B   #»  k   =   (0; 0; 1) .   C   #»  j   =   (0; 1; 0) .   D   #» m   =   (1; 1; 1) .  Câu 3.   Trong không gian với hệ tọa độ   Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng    M (3;    1; 1)   và vuông góc đường thẳng      :   x      1 3   =   y   +   2   2   =   z      3 1   ?  A   3 x      2 y   +   z   +   12   =   0 .   B   3 x   +   2 y   +   z      8   =   0 .  C   3 x      2 y   +   z      12   =   0 .   D   x      2 y   +   3 z   +   3   =   0 .  Câu 4.   Trong không gian với hệ tọa độ   Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua điểm   A (2; 3; 0)   và vuông góc với mặt phẳng   ( P ) :   x   +   3 y      z   +   5   =   0 ?  A  { x   =   1   +   3 t y   =   3 t z   =   1      t .  B  { x   =   1   +   t y   =   3 t z   =   1      t .  C  { x   =   1   +   t y   =   1   +   3 t z   =   1      t .  D  { x   =   1   +   3 t y   =   3 t z   =   1   +   t .  Câu 5.   Trong không gian với hệ tọa độ   Oxyz , cho điểm   M (1;    2; 3) . Gọi   I   là hình chiếu vuông góc của   M   trên trục   Ox . Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt cầu tâm   I   bán kính   I M ?  A   ( x      1) 2   +   y 2   +   z 2   =   13 .   B   ( x   +   1) 2   +   y 2   +   z 2   =   13 .  C   ( x      1) 2   +   y 2   +   z 2   =    13 .   D   ( x   +   1) 2   +   y 2   +   z 2   =   17 .  Câu 6.   Trong không gian với hệ tọa độ   Oxyz , cho điểm   M (  1; 1; 3)   và hai đường thẳng      :   x      1 3   =  y   +   3 2   =   z      1 1   ,       :   x   +   1 1   =   y  3   =   z   2 . Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua   M , vuông góc với      và     ?  A  { x   =    1      t y   =   1   +   t z   =   1   +   3 t .  B  { x   =    t y   =   1   +   t z   =   3   +   t .  C  { x   =    1      t y   =   1      t z   =   3   +   t .  D  { x   =    1      t y   =   1   +   t z   =   3   +   t .  Câu 7.   Trong không gian với hệ tọa độ   Oxyz , cho hai đường thẳng   d 1   :  { x   =   1   +   3 t y   =    2   +   t ,  z   =   2  d 2   :   x      1 2   =  y   +   2   1   =   z  2   và mặt phẳng   ( P ) : 2 x   +   2 y      3 z   =   0 . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua giao điểm của   d 1   và   ( P ) , đồng thời vuông góc với   d 2 ?  A   2 x      y   +   2 z   +   22   =   0 .   B   2 x      y   +   2 z   +   13   =   0 .  C   2 x      y   +   2 z      13   =   0 .   D   2 x   +   y   +   2 z      22   =   0 .  Câu 8.   Trong không gian với hệ tọa độ   Oxyz , cho mặt cầu   ( S ) :   x 2   +   y 2   +   z 2   =   9 , điểm   M (1; 1; 2)   và mặt phẳng   ( P ) :   x   +   y   +   z      4   =   0 . Gọi      là đường thẳng đi qua   M , thuộc   ( P )   và cắt   ( S )   tại hai điểm  A ,   B   sao cho   AB   nhỏ nhất. Biết rằng      có một vectơ chỉ phương là   #» u   (1;   a ;   b ) . Tính   T   =   a      b .  A   T   =    2 .   B   T   =   1 .   C   T   =    1 .   D   T   =   0 .  Câu 9.   Trong không gian   Oxyz , mặt phẳng   ( P ) :   x   +   2 y   +   3 z      5   =   0   có một véc-tơ pháp tuyến là  A   #» n   1   =   (3; 2; 1) .   B   #» n   3   =   (  1; 2; 3) .   C   #» n   4   =   (1; 2;    3) .   D   #» n   2   =   (1; 2; 3) .  Câu 10.   Trong không gian   Oxyz , đường thẳng   d   :  { x   =   2      t y   =   1   +   2 t z   =   3   +   t  có một véc-tơ chỉ phương là  A   #» u   3   =   (2; 1; 3) .   B   #» u   4   =   (  1; 2; 1) .   C   #» u   2   =   (2; 1; 1) .   D   #» u   1   =   (  1; 2; 3) .  Toàn cảnh hình học   Oxyz   Những nẻo đường phù sa   Trang 2

Tọa độ không gian Oxyz